Сокращение дроби и вычисление значения: (6a^2 - 25a + 4)/(3a^2 - 11a - 4)

Задание: Сократите дробь \(\frac{6a^2 - 25a + 4}{3a^2 - 11a - 4}\) и найдите её значение при \(a = \frac{1}{3}\). Решение: Для сокращения дроби необходимо разложить числитель и знаменатель на множители. 1. Разложим числитель \(6a^2 - 25a + 4\): Находим корни уравнения \(6a^2 - 25a + 4 = 0\): \[D = (-25)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 4 = 625 - 96 = 529 = 23^2\] \[a_1 = \frac{25 + 23}{12} = \frac{48}{12} = 4\] \[a_2 = \frac{25 - 23}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}\] Разложение числителя: \(6(a - 4)(a - \frac{1}{6}) = (a - 4)(6a - 1)\). 2. Разложим знаменатель \(3a^2 - 11a - 4\): Находим корни уравнения \(3a^2 - 11a - 4 = 0\): \[D = (-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 121 + 48 = 169 = 13^2\] \[a_1 = \frac{11 + 13}{6} = \frac{24}{6} = 4\] \[a_2 = \frac{11 - 13}{6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}\] Разложение знаменателя: \(3(a - 4)(a + \frac{1}{3}) = (a - 4)(3a + 1)\). 3. Сократим дробь: \[\frac{(a - 4)(6a - 1)}{(a - 4)(3a + 1)} = \frac{6a - 1}{3a + 1}\] Это соответствует первому варианту ответа. 4. Найдем значение полученного выражения при \(a = \frac{1}{3}\): Подставим значение в сокращенную дробь: \[\frac{6 \cdot \frac{1}{3} - 1}{3 \cdot \frac{1}{3} + 1} = \frac{2 - 1}{1 + 1} = \frac{1}{2} = 0,5\] Ответ: Выбранный вариант: \(\frac{6a - 1}{3a + 1}\) Значение дроби: \(0,5\)