Решение задачи №11: Найти AB в трапеции

Задача №11 Дано: ABCD — трапеция (BC || AD). \( \angle ABC = 45^\circ \). \( \angle BCD = 150^\circ \). \( CD = 32 \). Найти: AB. Решение: 1. Проведем две высоты трапеции: \( BK \) из вершины B и \( CH \) из вершины C к основанию AD. Так как BC || AD и высоты перпендикулярны основаниям, то \( BK = CH \). 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник CHD (\( \angle CHD = 90^\circ \)). Найдем угол HCD. Так как \( \angle BCD = 150^\circ \), а \( \angle BCH = 90^\circ \) (по построению высоты), то: \[ \angle HCD = \angle BCD - \angle BCH = 150^\circ - 90^\circ = 60^\circ \] Тогда угол D в треугольнике CHD равен: \[ \angle D = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \] 3. В прямоугольном треугольнике CHD катет CH лежит против угла в \( 30^\circ \). По свойству прямоугольного треугольника, такой катет равен половине гипотенузы CD: \[ CH = \frac{CD}{2} = \frac{32}{2} = 16 \] 4. Так как \( BK = CH \), то \( BK = 16 \). 5. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABK (\( \angle AKB = 90^\circ \)). Найдем угол ABK. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна \( 180^\circ \). Однако нам дан угол \( \angle ABC = 45^\circ \). Это означает, что трапеция тупоугольная при основании AD, и высота BK лежит вне треугольника или чертеж имеет особенности. Но стандартно для школьной задачи воспользуемся соотношением в треугольнике ABK через синус угла A. Углы при боковой стороне AB: \( \angle A + \angle ABC = 180^\circ \). \[ \angle A = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ \] Это говорит о том, что угол при основании тупой. В треугольнике ABK (где BK — высота): \[ \sin(\angle BAK_{внешний}) = \frac{BK}{AB} \] Так как \( \angle ABC = 45^\circ \), то угол между боковой стороной AB и высотой (или основанием) даст нам соотношение: \[ AB = \frac{BK}{\sin(45^\circ)} \] (Используем острый угол \( 45^\circ \) для расчета длины стороны). \[ AB = \frac{16}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{32}{\sqrt{2}} = \frac{32\sqrt{2}}{2} = 16\sqrt{2} \] Ответ: \( 16\sqrt{2} \).