Решение задачи: вероятность выбора отличников

Задача: В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся 5 отличников. (Примечание: В тексте на фото в конце написано "3 женщины", однако в условии про женщин ничего не сказано, зато указано количество отличников. Вероятно, в условии допущена описка и требуется найти вероятность для отличников. Решим задачу для случая, когда нужно выбрать именно 5 отличников из 8 имеющихся при общем выборе 9 человек из 12). Решение: Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности: \[ P(A) = \frac{m}{n} \] где \( n \) — общее число возможных исходов, а \( m \) — число исходов, благоприятствующих событию \( A \). 1. Вычислим общее число способов выбрать 9 студентов из 12. Это число сочетаний из 12 по 9: \[ n = C_{12}^{9} = \frac{12!}{9! \cdot (12-9)!} = \frac{12!}{9! \cdot 3!} \] \[ n = \frac{10 \cdot 11 \cdot 12}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 10 \cdot 11 \cdot 2 = 220 \] 2. Теперь найдем число благоприятных исходов \( m \). Чтобы среди 9 выбранных студентов было ровно 5 отличников, нужно: - Выбрать 5 отличников из 8 имеющихся: \( C_{8}^{5} \) способами. - Выбрать остальных \( 9 - 5 = 4 \) студента из числа тех, кто не является отличником. Всего не отличников \( 12 - 8 = 4 \). То есть нужно выбрать 4 человека из 4: \( C_{4}^{4} \) способами. \[ m = C_{8}^{5} \cdot C_{4}^{4} \] Вычислим значения: \[ C_{8}^{5} = C_{8}^{3} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 56 \] \[ C_{4}^{4} = 1 \] Следовательно: \[ m = 56 \cdot 1 = 56 \] 3. Находим искомую вероятность: \[ P(A) = \frac{56}{220} \] Сократим дробь на 4: \[ P(A) = \frac{14}{55} \approx 0,2545 \] Ответ: \( \frac{14}{55} \) (или примерно 0,2545).