Решение задачи по теории вероятностей: формула Бернулли

Задача Дано: \( n = 5 \) — общее количество независимых испытаний. \( p = 0,8 \) — вероятность наступления события \( A \) в одном испытании. \( q = 1 - p = 1 - 0,8 = 0,2 \) — вероятность ненаступления события \( A \). Событие \( B \) произойдет, если событие \( A \) наступит не менее 4 раз. Это значит, что событие \( A \) должно наступить либо 4 раза, либо 5 раз. Найти: \( P(B) \). Решение: Для решения воспользуемся формулой Бернулли: \[ P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k} \] где \( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \). Вероятность события \( B \) равна сумме вероятностей того, что событие \( A \) наступит ровно 4 раза и ровно 5 раз: \[ P(B) = P_5(4) + P_5(5) \] 1) Вычислим вероятность того, что событие \( A \) наступит 4 раза: \[ P_5(4) = C_5^4 \cdot 0,8^4 \cdot 0,2^{5-4} \] \[ C_5^4 = \frac{5!}{4!(5-4)!} = \frac{5!}{4! \cdot 1!} = 5 \] \[ P_5(4) = 5 \cdot 0,4096 \cdot 0,2 = 1 \cdot 0,4096 = 0,4096 \] 2) Вычислим вероятность того, что событие \( A \) наступит 5 раз: \[ P_5(5) = C_5^5 \cdot 0,8^5 \cdot 0,2^{5-5} \] \[ C_5^5 = \frac{5!}{5!(5-5)!} = \frac{5!}{5! \cdot 0!} = 1 \] \[ P_5(5) = 1 \cdot 0,32768 \cdot 1 = 0,32768 \] 3) Находим искомую вероятность: \[ P(B) = 0,4096 + 0,32768 = 0,73728 \] Ответ: \( 0,73728 \).