Решение задач по геометрии: подобные треугольники

Ниже представлено решение задач с изображения в удобном для переписывания виде. Задача 1. Сходственными называются стороны, лежащие против равных углов в подобных треугольниках. Так как \( \angle A = \angle M \), \( \angle B = \angle N \), \( \angle C = \angle K \), то сходственными сторонами являются: 1) \( BC \) и \( NK \) (лежат против \( \angle A \) и \( \angle M \)); 2) \( AC \) и \( MK \) (лежат против \( \angle B \) и \( \angle N \)); 3) \( AB \) и \( MN \) (лежат против \( \angle C \) и \( \angle K \)). Задача 2. В подобных треугольниках сходственные стороны лежат против равных углов. Если стороны \( AC \) и \( PR \) сходственные, то они лежат против равных углов \( \angle B \) и \( \angle Q \). Следовательно, верное равенство: 2) \( \angle B = \angle Q \). Задача 3. Дано: \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) \( AC \) и \( DF \) — сходственные стороны. \( AC : DF = 1 : 5 \) Стороны \( \triangle ABC \): 4, 6, 8. Найти: наибольшую сторону \( \triangle DEF \). Решение: Отношение сходственных сторон называется коэффициентом подобия \( k \). \[ k = \frac{AC}{DF} = \frac{1}{5} \] Это значит, что каждая сторона треугольника \( DEF \) в 5 раз больше соответствующей стороны треугольника \( ABC \). Наибольшая сторона \( \triangle ABC \) равна 8. Тогда наибольшая сторона \( \triangle DEF \) будет равна: \[ 8 \cdot 5 = 40 \] Ответ: 40. Задача 4. Дано: \( \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 \) \( AC = 8 \) см, \( AB = x \), \( BC = y \) \( A_1C_1 = 16 \) см, \( A_1B_1 = 12 \) см, \( B_1C_1 = 14 \) см Найти: \( x, y \). Решение: Найдем коэффициент подобия \( k \) через известные сходственные стороны \( AC \) и \( A_1C_1 \): \[ k = \frac{AC}{A_1C_1} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2} \] Так как треугольники подобны, отношения всех сходственных сторон равны: \[ \frac{AB}{A_1B_1} = k \Rightarrow \frac{x}{12} = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{12 \cdot 1}{2} = 6 \text{ см} \] \[ \frac{BC}{B_1C_1} = k \Rightarrow \frac{y}{14} = \frac{1}{2} \Rightarrow y = \frac{14 \cdot 1}{2} = 7 \text{ см} \] Ответ: \( x = 6 \) см, \( y = 7 \) см.