Сравнение бесконечно малых функций: конспект и решение

Ниже представлен краткий конспект по теме «Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций», структурированный для записи в школьную тетрадь. Сравнение бесконечно малых функций Пусть \( \alpha(x) \) и \( \beta(x) \) — бесконечно малые функции при \( x \to x_0 \). 1. Эквивалентные бесконечно малые: Если \( \lim_{x \to x_0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 1 \), то функции называются эквивалентными. Обозначение: \( \alpha(x) \sim \beta(x) \). 2. Бесконечно малые одного порядка: Если \( \lim_{x \to x_0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = k \) (где \( k \neq 0, k \neq \infty \)), то функции имеют один и тот же порядок малости. 3. Бесконечно малая более высокого порядка: Если \( \lim_{x \to x_0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 0 \), то \( \alpha(x) \) называется бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с \( \beta(x) \). Обозначение: \( \alpha(x) = o(\beta(x)) \) («о» малое). 4. Бесконечно малая более низкого порядка: Если \( \lim_{x \to x_0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = \infty \), то \( \alpha(x) \) имеет более низкий порядок малости, чем \( \beta(x) \). Сравнение бесконечно больших функций Пусть \( f(x) \) и \( g(x) \) — бесконечно большие функции при \( x \to x_0 \). 1. Эквивалентные бесконечно большие: Если \( \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1 \), то \( f(x) \sim g(x) \). 2. Бесконечно большие одного порядка: Если \( \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = k \) (\( k \neq 0 \)). 3. Бесконечно большая более высокого порядка роста: Если \( \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \infty \), то \( f(x) \) растет быстрее, чем \( g(x) \). Важное замечание: Если предел отношения функций не существует, то такие функции называются несравнимыми. В отечественной математической школе (например, в трудах великих русских математиков) данные методы сравнения функций лежат в основе строгого анализа бесконечных величин.