Решение задачи с векторами p и q

Дано: Векторы \(\vec{p}\) и \(\vec{q}\) на координатной плоскости. Решение: 1. Определим координаты векторов по клеткам. Координаты вектора находятся как разность координат конца и начала. Для вектора \(\vec{p}\): Начало вектора находится в точке \((3; 5)\), конец — в точке \((-1; 1)\). \[\vec{p} = (-1 - 3; 1 - 5) = (-4; -4)\] Для вектора \(\vec{q}\): Начало вектора находится в точке \((3; 3)\), конец — в точке \((6; -3)\). \[\vec{q} = (6 - 3; -3 - 3) = (3; -6)\] 2. Найдем скалярное произведение векторов \(\vec{p}\) и \(\vec{q}\): \[\vec{p} \cdot \vec{q} = p_x q_x + p_y q_y\] \[\vec{p} \cdot \vec{q} = (-4) \cdot 3 + (-4) \cdot (-6) = -12 + 24 = 12\] 3. Найдем длины (модули) векторов: \[|\vec{p}| = \sqrt{(-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\] \[|\vec{q}| = \sqrt{3^2 + (-6)^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}\] 4. Найдем косинус угла \(\alpha\) между векторами: \[\cos \alpha = \frac{\vec{p} \cdot \vec{q}}{|\vec{p}| \cdot |\vec{q}|}\] \[\cos \alpha = \frac{12}{4\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{5}} = \frac{12}{12\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}}\] \[\cos \alpha \approx \frac{1}{3,1622} \approx 0,3162\] 5. Вычислим угол \(\alpha\): \[\alpha = \arccos(0,3162) \approx 71,565^{\circ}\] Переведем дробную часть градуса в минуты и секунды: Целых градусов: \(71^{\circ}\). Минуты: \(0,565 \cdot 60 = 33,9'\). Берем \(33'\). Секунды: \(0,9 \cdot 60 = 54''\). Ответ: \(\widehat{\vec{p} \vec{q}} = 71^{\circ} 33' 54''\)