Решение:

Задача Дано: \( n = 100 \) (количество испытаний) \( p = 0,2 \) (вероятность наступления события в одном испытании) \( k = 12 \) (количество успехов) Найти: \( P_{100}(12) \) Решение: Так как число испытаний \( n \) достаточно велико, для решения воспользуемся локальной теоремой Лапласа: \[ P_n(k) \approx \frac{1}{\sqrt{npq}} \cdot \varphi(x) \] где \( q = 1 - p = 1 - 0,2 = 0,8 \), а значение \( x \) вычисляется по формуле: \[ x = \frac{k - np}{\sqrt{npq}} \] 1. Вычислим значение \( \sqrt{npq} \): \[ \sqrt{npq} = \sqrt{100 \cdot 0,2 \cdot 0,8} = \sqrt{16} = 4 \] 2. Найдем значение \( x \): \[ x = \frac{12 - 100 \cdot 0,2}{4} = \frac{12 - 20}{4} = \frac{-8}{4} = -2 \] 3. Функция \( \varphi(x) \) является четной, то есть \( \varphi(-x) = \varphi(x) \). По таблице значений функции Гаусса находим: \[ \varphi(-2) = \varphi(2) \approx 0,0540 \] 4. Вычислим искомую вероятность: \[ P_{100}(12) \approx \frac{1}{4} \cdot 0,0540 = 0,0135 \] Ответ: 0,0135.