Решение задачи №191: Доказательство параллельности прямых

Задача №191 На рисунке 111 прямые \(a\) и \(b\) пересечены прямой \(c\). Докажите, что \(a \parallel b\), если: а) \(\angle 1 = 37^{\circ}\), \(\angle 7 = 143^{\circ}\); Решение: 1. Углы \(\angle 1\) и \(\angle 4\) являются вертикальными, следовательно, они равны: \[\angle 4 = \angle 1 = 37^{\circ}\] 2. Углы \(\angle 4\) и \(\angle 7\) являются односторонними при прямых \(a\), \(b\) и секущей \(c\). 3. Найдем сумму этих углов: \[\angle 4 + \angle 7 = 37^{\circ} + 143^{\circ} = 180^{\circ}\] 4. Так как сумма односторонних углов равна \(180^{\circ}\), то по признаку параллельности прямых \(a \parallel b\). Что и требовалось доказать. б) \(\angle 1 = \angle 6\); Решение: 1. Углы \(\angle 1\) и \(\angle 4\) — вертикальные, значит \(\angle 4 = \angle 1\). 2. Углы \(\angle 6\) и \(\angle 7\) — вертикальные, значит \(\angle 7 = \angle 6\). 3. По условию \(\angle 1 = \angle 6\), следовательно, \(\angle 4 = \angle 7\). 4. Углы \(\angle 4\) и \(\angle 7\) являются накрест лежащими при прямых \(a\), \(b\) и секущей \(c\). 5. Так как накрест лежащие углы равны, то \(a \parallel b\). Что и требовалось доказать. в) \(\angle 1 = 45^{\circ}\), а угол 7 в 3 раза больше угла 8. Решение: 1. Углы \(\angle 7\) и \(\angle 8\) являются смежными, их сумма равна \(180^{\circ}\): \[\angle 7 + \angle 8 = 180^{\circ}\] 2. Пусть \(\angle 8 = x\), тогда \(\angle 7 = 3x\). Составим уравнение: \[x + 3x = 180^{\circ}\] \[4x = 180^{\circ}\] \[x = 45^{\circ}\] Значит, \(\angle 8 = 45^{\circ}\). 3. Углы \(\angle 1\) и \(\angle 8\) являются соответственными при прямых \(a\), \(b\) и секущей \(c\). 4. По условию \(\angle 1 = 45^{\circ}\), и мы вычислили, что \(\angle 8 = 45^{\circ}\). Следовательно, \(\angle 1 = \angle 8\). 5. Так как соответственные углы равны, то \(a \parallel b\). Что и требовалось доказать.