Решение задачи: Правильная четырехугольная пирамида

В условии задачи не указано количество углов в основании правильной пирамиды. Обычно в школьном курсе под «правильной пирамидой» без уточнения часто подразумевают правильную четырехугольную пирамиду. Решим задачу для этого случая. Дано: Правильная четырехугольная пирамида \(SABCD\). Боковое ребро \(L = 6\) см. Угол наклона бокового ребра к плоскости основания \(\alpha = 60^\circ\). Найти: Периметр основания \(P\), площадь основания \(S_{осн}\). Решение: 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, боковым ребром и радиусом описанной около основания окружности \(R\). В этом треугольнике гипотенуза — это боковое ребро \(L\), а катет, прилежащий к углу \(60^\circ\), — это радиус \(R\). \[R = L \cdot \cos(60^\circ)\] \[R = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3 \text{ см}\] 2. В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат. Радиус описанной окружности квадрата связан с его стороной \(a\) формулой: \[R = \frac{a}{\sqrt{2}} \Rightarrow a = R\sqrt{2}\] \[a = 3\sqrt{2} \text{ см}\] 3. Найдем периметр основания (квадрата): \[P = 4a\] \[P = 4 \cdot 3\sqrt{2} = 12\sqrt{2} \text{ см}\] 4. Найдем площадь основания: \[S_{осн} = a^2\] \[S_{осн} = (3\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18 \text{ см}^2\] Ответ: \(P = 12\sqrt{2}\) см, \(S_{осн} = 18\) см\(^2\). Примечание: Если пирамида правильная треугольная, то \(a = R\sqrt{3} = 3\sqrt{3}\) см, тогда \(P = 9\sqrt{3}\) см и \(S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{27\sqrt{3}}{4}\) см\(^2\).