Решение задания 14 ОГЭ: Неравенства с подробным объяснением

Задание 14. Установите соответствие между неравенствами и их решениями. Ниже приведено подробное решение каждого неравенства для записи в тетрадь. А) \(\frac{x - 5}{(x - 3)^2} < 0\) Решение: Знаменатель \((x - 3)^2\) всегда положителен при \(x \neq 3\). Следовательно, знак дроби зависит только от числителя: \[x - 5 < 0 \Rightarrow x < 5\] Учитывая область допустимых значений (знаменатель не равен нулю): \(x \neq 3\). Получаем интервалы: \((-\infty; 3) \cup (3; 5)\). Соответствие: 1-й вариант из правого столбца. Б) \(5^{-x+1} < \frac{1}{25}\) Решение: Представим правую часть как степень с основанием 5: \[5^{-x+1} < 5^{-2}\] Так как основание \(5 > 1\), знак неравенства для показателей сохраняется: \[-x + 1 < -2\] \[-x < -3\] \[x > 3\] Решение: \((3; +\infty)\). Соответствие: 3-й вариант из правого столбца. В) \(5^{x^2 - 8x + 15} > 1\) Решение: Представим единицу как \(5^0\): \[5^{x^2 - 8x + 15} > 5^0\] Переходим к показателям: \[x^2 - 8x + 15 > 0\] Найдем корни уравнения \(x^2 - 8x + 15 = 0\) через дискриминант или по теореме Виета: \(x_1 = 3, x_2 = 5\). Парабола ветвями вверх, значения больше нуля находятся по краям от корней: \[x < 3 \text{ или } x > 5\] Решение: \((-\infty; 3) \cup (5; +\infty)\). Соответствие: 2-й вариант из правого столбца. Г) \(\log_2(x - 3) < 1\) Решение: Запишем область допустимых значений (ОДЗ): \(x - 3 > 0 \Rightarrow x > 3\). Представим единицу как логарифм: \[\log_2(x - 3) < \log_2 2\] Так как основание \(2 > 1\), логарифмируемые выражения связаны тем же знаком: \[x - 3 < 2 \Rightarrow x < 5\] С учетом ОДЗ (\(x > 3\)): \[3 < x < 5\] Решение: \((3; 5)\). Соответствие: 4-й вариант из правого столбца. Итоговая таблица соответствия: А — \((-\infty; 3) \cup (3; 5)\) Б — \((3; +\infty)\) В — \((-\infty; 3) \cup (5; +\infty)\) Г — \((3; 5)\)