Решение: Найти Наибольшее и Наименьшее Значения Функции y = 2cos(2x) + cos^2(x)

Задание 2. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции \( y = 2 \cos 2x + \cos^2 x \). Решение: Для решения задачи выразим все слагаемые через одну тригонометрическую функцию. Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: \[ \cos 2x = 2 \cos^2 x - 1 \] Подставим это выражение в исходную функцию: \[ y = 2(2 \cos^2 x - 1) + \cos^2 x \] \[ y = 4 \cos^2 x - 2 + \cos^2 x \] \[ y = 5 \cos^2 x - 2 \] Пусть \( \cos x = t \). Так как область значений косинуса лежит в пределах от \(-1\) до \(1\), то \( t \in [-1; 1] \). Тогда функция принимает вид: \[ f(t) = 5t^2 - 2, \text{ где } t \in [-1; 1] \] Графиком функции \( f(t) = 5t^2 - 2 \) является парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке \( t = 0 \). 1. Найдем значение функции в вершине: \[ f(0) = 5 \cdot 0^2 - 2 = -2 \] 2. Найдем значения функции на концах отрезка \( [-1; 1] \): \[ f(-1) = 5 \cdot (-1)^2 - 2 = 5 - 2 = 3 \] \[ f(1) = 5 \cdot 1^2 - 2 = 5 - 2 = 3 \] Сравнивая полученные результаты, определим наибольшее и наименьшее значения: Наименьшее значение функции равно \(-2\). Наибольшее значение функции равно \(3\). Ответ: \( y_{max} = 3 \); \( y_{min} = -2 \).