Решение задачи 15 ОГЭ: установление соответствия между неравенствами

Ниже представлено подробное решение задачи на установление соответствия между неравенствами и их решениями. Задание 15. Установите соответствие между объектами двух столбцов. Решение: 1) Рассмотрим первое неравенство: \[ \frac{(x - 2)^2}{x - 1} < 0 \] Числитель \( (x - 2)^2 \) всегда неотрицателен и равен нулю при \( x = 2 \). Чтобы дробь была строго меньше нуля, знаменатель должен быть отрицательным, а числитель не должен быть равен нулю. \[ x - 1 < 0 \implies x < 1 \] При этом \( x = 2 \) не входит в этот интервал. Ответ: \( (-\infty; 1) \). 2) Рассмотрим второе неравенство: \[ 2^{-x} < \frac{1}{2} \] Представим правую часть как степень двойки: \[ 2^{-x} < 2^{-1} \] Так как основание степени \( 2 > 1 \), функция возрастающая, и знак неравенства для показателей сохраняется: \[ -x < -1 \] Умножим на \( -1 \), меняя знак неравенства: \[ x > 1 \] Ответ: \( (1; +\infty) \). 3) Рассмотрим третье неравенство: \[ \log_2 x > 1 \] Представим единицу как логарифм по основанию 2: \[ \log_2 x > \log_2 2 \] Так как основание логарифма \( 2 > 1 \), логарифмическая функция возрастает. С учетом области допустимых значений (\( x > 0 \)): \[ x > 2 \] Ответ: \( (2; +\infty) \). 4) Рассмотрим четвертое неравенство: \[ (x - 1)(x - 2) < 0 \] Это квадратичное неравенство. Корни соответствующего уравнения: \( x_1 = 1 \), \( x_2 = 2 \). Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Отрицательные значения функция принимает между корнями. Ответ: \( (1; 2) \). Итоговое соответствие: \[ \frac{(x - 2)^2}{x - 1} < 0 \longrightarrow (-\infty; 1) \] \[ 2^{-x} < \frac{1}{2} \longrightarrow (1; +\infty) \] \[ \log_2 x > 1 \longrightarrow (2; +\infty) \] \[ (x - 1)(x - 2) < 0 \longrightarrow (1; 2) \]