Решение задачи B14 по физике

Задача В14. Дано: \(q_1 = -10 \text{ мкКл} = -10 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}\) \(H = 6 \text{ м}\) \(h = 1 \text{ м}\) \(m = 9,0 \text{ г} = 9 \cdot 10^{-3} \text{ кг}\) \(q_2 = 4 \text{ мкКл} = 4 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}\) \(k = 9 \cdot 10^9 \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2\) \(g = 10 \text{ м/с}^2\) Найти: \(v_{\min} - ?\) Решение: Для решения задачи воспользуемся законом сохранения энергии. В начальном состоянии частица обладает кинетической энергией, потенциальной энергией в поле тяжести Земли и потенциальной энергией электростатического взаимодействия с закрепленным зарядом. Расстояние между зарядами в начальный момент времени: \[r_1 = H - h = 6 - 1 = 5 \text{ м}\] В конечном состоянии (когда частица достигает заряда \(q_1\)) расстояние между ними стремится к нулю (\(r_2 \to 0\)). Однако, так как заряды разноименные (\(q_1 < 0\), \(q_2 > 0\)), они притягиваются. Это означает, что электростатическая сила помогает движению вверх. Минимальная скорость \(v_{\min}\) необходима для того, чтобы частица преодолела силу тяжести на начальном этапе, если это требуется. Но в данной системе на частицу действуют две силы: сила тяжести \(F_g = mg\), направленная вниз, и сила Кулона \(F_c = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}\), направленная вверх (притяжение). Проверим соотношение сил в начальной точке: \[F_g = 9 \cdot 10^{-3} \cdot 10 = 0,09 \text{ Н}\] \[F_c = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{10 \cdot 10^{-6} \cdot 4 \cdot 10^{-6}}{5^2} = \frac{9 \cdot 10^9 \cdot 40 \cdot 10^{-12}}{25} = \frac{0,36}{25} = 0,0144 \text{ Н}\] Так как \(F_g > F_c\), частица сама вверх не полетит, ей нужно сообщить начальную скорость. По мере приближения к \(q_1\) (уменьшения \(r\)), кулоновская сила притяжения будет расти пропорционально \(1/r^2\), а сила тяжести останется постоянной. Существует критическая точка \(r_{cr}\), где силы уравновесятся: \[mg = \frac{k |q_1 q_2|}{r_{cr}^2} \Rightarrow r_{cr} = \sqrt{\frac{k |q_1 q_2|}{mg}}\] \[r_{cr} = \sqrt{\frac{9 \cdot 10^9 \cdot 40 \cdot 10^{-12}}{0,09}} = \sqrt{\frac{0,36}{0,09}} = \sqrt{4} = 2 \text{ м}\] Это значит, что на высоте \(H - r_{cr} = 6 - 2 = 4 \text{ м}\) от земли силы сравняются. Чтобы частица достигла заряда, ей достаточно долететь до этой точки с нулевой скоростью, далее притяжение станет сильнее тяжести и "затянет" частицу к заряду. Запишем закон сохранения энергии для начальной точки (\(r_1 = 5 \text{ м}\)) и критической точки (\(r_{cr} = 2 \text{ м}\)): \[\frac{mv_{\min}^2}{2} + mgh_1 + \frac{k q_1 q_2}{r_1} = mgh_{cr} + \frac{k q_1 q_2}{r_{cr}}\] Здесь \(h_1 = 1 \text{ м}\), \(h_{cr} = 4 \text{ м}\). Выразим скорость: \[\frac{mv_{\min}^2}{2} = mg(h_{cr} - h_1) + k q_1 q_2 \left( \frac{1}{r_{cr}} - \frac{1}{r_1} \right)\] Заметим, что \(q_1 q_2 = -40 \cdot 10^{-12}\), поэтому: \[\frac{mv_{\min}^2}{2} = 0,009 \cdot 10 \cdot (4 - 1) - 9 \cdot 10^9 \cdot 40 \cdot 10^{-12} \cdot \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{5} \right)\] \[\frac{mv_{\min}^2}{2} = 0,09 \cdot 3 - 0,36 \cdot (0,5 - 0,2)\] \[\frac{mv_{\min}^2}{2} = 0,27 - 0,36 \cdot 0,3 = 0,27 - 0,108 = 0,162 \text{ Дж}\] \[v_{\min}^2 = \frac{2 \cdot 0,162}{m} = \frac{0,324}{9 \cdot 10^{-3}} = \frac{324}{9} = 36\] \[v_{\min} = \sqrt{36} = 6 \text{ м/с}\] Ответ: 6 м/с.