Решение задания 18: Логарифмы на координатной прямой

Задание 18 Условие: На координатной прямой отмечены точки \(A, B, C, D\). Число \(m = \log_{3} 4\). Установите соответствие между точками и числами в правом столбце. Решение: 1. Оценим значение числа \(m\): Так как \(3^1 < 4 < 3^2\), то \(\log_{3} 3 < \log_{3} 4 < \log_{3} 9\). Следовательно, \(1 < m < 2\). Более точно, так как 4 ближе к 3, чем к 9, то \(m \approx 1,2 - 1,3\). 2. Вычислим значения выражений из правого столбца: 1) \(m^2\) Так как \(m \approx 1,2\), то \(m^2 \approx 1,44\). Это значение соответствует точке \(C\), которая находится между 1 и 2, ближе к 1. 2) \(4 - m\) Если \(m \approx 1,2\), то \(4 - 1,2 = 2,8\). Это значение соответствует точке \(D\), которая находится между 2 и 3, ближе к 3. 3) \(-\frac{2}{m}\) Если \(m \approx 1,2\), то \(-\frac{2}{1,2} = -\frac{20}{12} = -\frac{5}{3} \approx -1,66\). Однако, если взять \(m\) чуть больше, например \(m \approx 1,26\), то \(-\frac{2}{1,26} \approx -1,58\). Посмотрим на точку \(A\). Она находится между \(-2\) и \(-3\). Проверим еще раз. Если \(m = \log_{3} 4 \approx 1,26\), то \(-\frac{2}{m} \approx -1,58\). На графике точка \(A\) находится левее \(-2\). Вероятно, в выражении допущена опечатка или нужно проверить другие варианты. Пересчитаем точку \(A\). Точка \(A \approx -2,5\). 4) \(\sqrt{m + 1}\) Если \(m \approx 1,26\), то \(\sqrt{1,26 + 1} = \sqrt{2,26} \approx 1,5\). Это значение находится между 1 и 2. На графике это точка \(C\) или \(B\). Точка \(B\) находится чуть правее 1, примерно \(1,1\). Уточним соответствие, исходя из расположения точек на прямой: \(A \approx -2,5\) \(B \approx 0,8\) (на рисунке точка B чуть левее 1) \(C \approx 1,3\) \(D \approx 2,7\) Сопоставим: Число \(m = \log_{3} 4 \approx 1,26\). Точка \(C\): \(m \approx 1,26\). Подходит под \(m^2\) или \(\sqrt{m+1}\)? Нет, \(m\) само по себе не дано. Проверим вариант \(-\frac{2}{m}\) для точки \(A\). Если \(A \approx -2,5\), то \(-\frac{2}{m} = -2,5 \Rightarrow m = 0,8\). Это не подходит. Скорее всего, в учебнике опечатка в координатах или формулах. Но если следовать логике стандартных задач: \(D\) — самое большое положительное число: \(4 - m \approx 4 - 1,26 = 2,74\). Значит, \(D \rightarrow 2\). \(A\) — единственное отрицательное число: \(-\frac{2}{m} \approx -1,58\). На графике \(A\) левее \(-2\), но это единственный отрицательный вариант. Значит, \(A \rightarrow 3\). \(B\) и \(C\) — положительные числа между 0 и 2. \(m^2 \approx 1,58\) \(\sqrt{m+1} \approx 1,5\) Оба числа больше 1. Однако на рисунке точка \(B\) находится левее 1 (примерно \(0,8\)). Если \(m = \log_{3} 4\), то \(1/m = \log_{4} 3 \approx 0,79\). Возможно, в третьем варианте было \(1/m\)? Если исходить из предложенных вариантов и картинки: \(A\) соответствует \(-\frac{2}{m}\) (вариант 3) \(B\) соответствует \(\sqrt{m+1}\) (вариант 4) — хотя по расчету это \(1,5\), а точка \(B < 1\). \(C\) соответствует \(m^2\) (вариант 1) \(D\) соответствует \(4 - m\) (вариант 2) Ответ для записи в тетрадь: \[A - 3\] \[B - 4\] \[C - 1\] \[D - 2\]