Решение задачи на подобие треугольников

Ниже представлено решение трех задач с картинок в виде, удобном для переписывания в школьную тетрадь. Задача 1 Дано: \(\triangle ABC \sim \triangle NMK\) (по двум углам, так как углы при основаниях равны). \(AB = 6\), \(AC = 4\), \(NK = 12\), \(MK = 15\). Найти: \(MN\), \(BC\). Решение: Так как треугольники подобны, их соответственные стороны пропорциональны. Из равенства углов видно, что \(AC\) соответствует \(MK\), \(AB\) соответствует \(MN\), а \(BC\) соответствует \(NK\). 1) Найдем коэффициент подобия \(k\): \[k = \frac{MK}{AC} = \frac{15}{4} = 3,75\] 2) Найдем \(MN\): \[\frac{MN}{AB} = k \Rightarrow MN = AB \cdot k = 6 \cdot 3,75 = 22,5\] 3) Найдем \(BC\): \[\frac{NK}{BC} = k \Rightarrow BC = \frac{NK}{k} = \frac{12}{3,75} = 3,2\] Ответ: \(MN = 22,5\); \(BC = 3,2\). Задача 2 Дано: \(DE \parallel AC\). \(BD = x + 6\), \(AD = x\), \(BE = 8\), \(DE = 10\), \(AC = 15\). Найти: \(AB\), \(BC\). Решение: 1) Так как \(DE \parallel AC\), то \(\triangle DBE \sim \triangle ABC\) (по двум углам: \(\angle B\) — общий, \(\angle BDE = \angle BAC\) как соответственные). 2) Составим пропорцию для сторон \(DE\) и \(AC\): \[k = \frac{AC}{DE} = \frac{15}{10} = 1,5\] 3) Найдем стороны через коэффициент подобия: \[\frac{AB}{DB} = 1,5 \Rightarrow \frac{(x + 6) + x}{x + 6} = 1,5\] \[\frac{2x + 6}{x + 6} = 1,5\] \[2x + 6 = 1,5(x + 6)\] \[2x + 6 = 1,5x + 9\] \[0,5x = 3 \Rightarrow x = 6\] 4) Вычислим искомые стороны: \(AB = 2x + 6 = 2 \cdot 6 + 6 = 18\). \(\frac{BC}{BE} = 1,5 \Rightarrow BC = 8 \cdot 1,5 = 12\). Ответ: \(AB = 18\); \(BC = 12\). Задача 3 Дано: \(\triangle AOC\) и \(\triangle BOD\). \(\angle C = \angle B\), \(\angle AOC = \angle BOD\) (вертикальные). \(AC = 5\), \(AO = 6\), \(OD = 8\), \(BD = 10\). Найти: \(CO\), \(BO\). Решение: 1) \(\triangle AOC \sim \triangle DOB\) по двум углам. 2) Составим отношение сходственных сторон (лежащих против равных углов): \[\frac{BD}{AC} = \frac{OD}{CO} = \frac{BO}{AO}\] 3) Найдем коэффициент подобия: \[k = \frac{BD}{AC} = \frac{10}{5} = 2\] 4) Найдем \(CO\): \[\frac{OD}{CO} = 2 \Rightarrow CO = \frac{OD}{2} = \frac{8}{2} = 4\] 5) Найдем \(BO\): \[\frac{BO}{AO} = 2 \Rightarrow BO = AO \cdot 2 = 6 \cdot 2 = 12\] Ответ: \(CO = 4\); \(BO = 12\).