Решение задачи №169: Подобие равнобедренных треугольников

Задача №169. Подобны ли равнобедренные треугольники, если они имеют: а) по равному острому углу; б) по равному тупому углу; в) по равному прямому углу? Решение: а) Нет, не всегда. Обоснование: Острый угол в равнобедренном треугольнике может быть как углом при основании, так и углом при вершине. Рассмотрим пример: В первом треугольнике острый угол \( \alpha = 40^{\circ} \) является углом при вершине. Тогда углы при основании равны: \[ \frac{180^{\circ} - 40^{\circ}}{2} = 70^{\circ} \] Во втором треугольнике острый угол \( \beta = 40^{\circ} \) является углом при основании. Тогда второй угол при основании тоже \( 40^{\circ} \), а угол при вершине равен: \[ 180^{\circ} - (40^{\circ} + 40^{\circ}) = 100^{\circ} \] Углы треугольников не равны (\( 40^{\circ}, 70^{\circ}, 70^{\circ} \) и \( 40^{\circ}, 40^{\circ}, 100^{\circ} \)), следовательно, треугольники не подобны. (Примечание: если уточнить, что это углы при вершинах или оба угла при основаниях, то треугольники будут подобны по первому признаку). б) Да, подобны. Обоснование: Тупой угол в равнобедренном треугольнике может быть только углом при вершине (так как сумма углов при основании была бы больше \( 180^{\circ} \), что невозможно). Если углы при вершинах равны \( \alpha_1 = \alpha_2 \), то углы при основаниях в обоих треугольниках будут вычисляться по одной формуле: \[ \beta = \frac{180^{\circ} - \alpha}{2} \] Таким образом, все три угла первого треугольника будут равны трем углам второго треугольника. Треугольники подобны по двум углам. в) Да, подобны. Обоснование: Прямой угол (\( 90^{\circ} \)) в равнобедренном треугольнике может быть только углом при вершине. Если угол при вершине равен \( 90^{\circ} \), то углы при основании в обоих треугольниках всегда равны: \[ \frac{180^{\circ} - 90^{\circ}}{2} = 45^{\circ} \] Углы обоих треугольников равны \( 90^{\circ}, 45^{\circ}, 45^{\circ} \). Треугольники подобны по первому признаку подобия (по двум углам).