Решение: Подобны ли равнобедренные треугольники?

Задача: Подобны ли равнобедренные треугольники, если они имеют: а) по равному острому углу; б) по равному тупому углу; в) по прямому углу? Ответ обоснуйте. Решение: а) Нет, не всегда. Обоснование: В равнобедренном треугольнике острым может быть как угол при основании, так и угол при вершине. Если в одном треугольнике острый угол \( \alpha \) находится при основании, а в другом такой же угол \( \alpha \) — при вершине, то углы этих треугольников не будут соответственно равны. Например: в первом треугольнике углы \( 40^\circ, 70^\circ, 70^\circ \), а во втором — \( 40^\circ, 40^\circ, 100^\circ \). Треугольники не подобны. б) Да, подобны. Обоснование: Тупой угол в равнобедренном треугольнике может быть только при его вершине (так как сумма углов треугольника \( 180^\circ \), и два тупых угла существовать не могут). Если углы при вершинах равны \( \beta_1 = \beta_2 \), то углы при основаниях также будут равны: \[ \alpha_1 = \alpha_2 = \frac{180^\circ - \beta_1}{2} \] Следовательно, треугольники подобны по первому признаку подобия (по двум углам). в) Да, подобны. Обоснование: Прямой угол в равнобедренном треугольнике, как и тупой, может быть только при вершине. Если угол при вершине равен \( 90^\circ \), то углы при основании в обоих треугольниках будут равны: \[ \frac{180^\circ - 90^\circ}{2} = 45^\circ \] Таким образом, оба треугольника имеют углы \( 90^\circ, 45^\circ, 45^\circ \). Они подобны по двум углам.