Решение задачи про трапецию: подробный разбор

Ниже представлено решение двух задач, оформленное для записи в тетрадь. Задача 1 (про трапецию) Дано: \(ABCD\) — трапеция, \(AD \parallel BC\). \(EF \parallel AD\), \(E \in AB\), \(F \in CD\). \(AD = 33\), \(BC = 18\). \(CF : DF = 2 : 1\). Найти: \(EF\). Решение: 1. Проведем отрезок \(CM \parallel AB\), где точка \(M\) лежит на \(AD\). Пусть \(CM\) пересекает \(EF\) в точке \(K\). 2. Четырехугольники \(ABCK\) и \(ABCM\) являются параллелограммами по построению (противоположные стороны параллельны). 3. Следовательно, \(BC = EK = AM = 18\). 4. Найдем отрезок \(MD\): \[MD = AD - AM = 33 - 18 = 15\] 5. Рассмотрим треугольник \(MCD\). Так как \(KF \parallel MD\), то треугольники \(CKF\) и \(CMD\) подобны по двум углам. 6. Из подобия треугольников следует отношение сторон: \[\frac{KF}{MD} = \frac{CF}{CD}\] 7. По условию \(CF : DF = 2 : 1\). Обозначим \(CF = 2x\), \(DF = x\). Тогда вся сторона \(CD = CF + DF = 3x\). 8. Подставим значения в пропорцию: \[\frac{KF}{15} = \frac{2x}{3x} = \frac{2}{3}\] \[KF = \frac{15 \cdot 2}{3} = 10\] 9. Найдем длину искомого отрезка \(EF\): \[EF = EK + KF = 18 + 10 = 28\] Ответ: \(EF = 28\). Задача 2 (про параллелограмм) Дано: \(ABCD\) — параллелограмм. \(AK\) — биссектриса \(\angle A\), \(K \in BC\). \(BK = 12\), \(CK = 16\). Найти: \(P_{ABCD}\). Решение: 1. Найдем длину стороны \(BC\): \[BC = BK + CK = 12 + 16 = 28\] 2. Так как \(ABCD\) — параллелограмм, то противоположные стороны равны: \(AD = BC = 28\). 3. Рассмотрим углы при параллельных прямых \(BC\) и \(AD\) и секущей \(AK\): \(\angle KAD = \angle BKA\) (как накрест лежащие). 4. Так как \(AK\) — биссектриса, то \(\angle BAK = \angle KAD\). 5. Из пунктов 3 и 4 следует, что \(\angle BAK = \angle BKA\). 6. Значит, треугольник \(ABK\) — равнобедренный с основанием \(AK\). Следовательно, \(AB = BK = 12\). 7. Противоположные стороны параллелограмма равны: \(CD = AB = 12\). 8. Вычислим периметр параллелограмма: \[P_{ABCD} = 2 \cdot (AB + BC)\] \[P_{ABCD} = 2 \cdot (12 + 28) = 2 \cdot 40 = 80\] Ответ: \(P_{ABCD} = 80\).