Решение задачи: параллелограмм и биссектриса

Дано: ABCD — параллелограмм. AE — биссектриса угла A (\(E \in BC\)). \(BE - EC = 4\) дм. \(P_{ABCD} = 64\) дм. Найти: меньшую сторону параллелограмма. Решение: 1. Рассмотрим углы при параллельных прямых BC и AD и секущей AE. Угол \( \angle BAE = \angle EAD \), так как AE — биссектриса. Угол \( \angle BEA = \angle EAD \) как накрест лежащие углы при \( BC \parallel AD \) и секущей AE. Следовательно, \( \angle BAE = \angle BEA \). 2. В треугольнике ABE два угла равны, значит, он равнобедренный с основанием AE. Отсюда следует, что \( AB = BE \). 3. Пусть \( EC = x \) дм. Тогда по условию \( BE = x + 4 \) дм. Так как \( AB = BE \), то \( AB = x + 4 \) дм. Сторона \( BC = BE + EC = (x + 4) + x = 2x + 4 \) дм. 4. Периметр параллелограмма вычисляется по формуле: \[ P = 2 \cdot (AB + BC) \] Подставим известные значения: \[ 64 = 2 \cdot ((x + 4) + (2x + 4)) \] \[ 32 = 3x + 8 \] \[ 3x = 32 - 8 \] \[ 3x = 24 \] \[ x = 8 \] 5. Найдем длины сторон: \( EC = 8 \) дм. \( AB = x + 4 = 8 + 4 = 12 \) дм. \( BC = 2x + 4 = 2 \cdot 8 + 4 = 16 + 4 = 20 \) дм. 6. Сравним стороны: \( AB = 12 \) дм, \( BC = 20 \) дм. Меньшая сторона равна 12 дм. Ответ: 12.