Решение задачи: Найти выборочное уравнение регрессии Y на X

Задача: Найти выборочное уравнение прямой регрессии Y на X по данной корреляционной таблице. Уравнение регрессии имеет вид: \[ \bar{y}_x - \bar{y} = r_B \frac{\sigma_y}{\sigma_x} (x - \bar{x}) \] Для удобства расчетов перейдем к условным вариантам: \[ u_i = \frac{x_i - x_0}{h_x}, \quad v_j = \frac{y_j - y_0}{h_y} \] Выберем \( x_0 = 30 \), \( h_x = 5 \) и \( y_0 = 15 \), \( h_y = 5 \). 1. Вычислим выборочные средние \( \bar{x} \) и \( \bar{y} \): \[ \bar{x} = \frac{\sum n_{x_i} x_i}{n} = \frac{15 \cdot 4 + 20 \cdot 8 + 25 \cdot 12 + 30 \cdot 57 + 35 \cdot 15 + 40 \cdot 4}{100} = \frac{60 + 160 + 300 + 1710 + 525 + 160}{100} = 29,15 \] \[ \bar{y} = \frac{\sum n_{y_j} y_j}{n} = \frac{5 \cdot 6 + 10 \cdot 10 + 15 \cdot 53 + 20 \cdot 16 + 25 \cdot 15}{100} = \frac{30 + 100 + 795 + 320 + 375}{100} = 16,2 \] 2. Вычислим выборочные дисперсии \( \sigma_x^2 \) и \( \sigma_y^2 \): \[ \bar{x^2} = \frac{\sum n_{x_i} x_i^2}{n} = \frac{15^2 \cdot 4 + 20^2 \cdot 8 + 25^2 \cdot 12 + 30^2 \cdot 57 + 35^2 \cdot 15 + 40^2 \cdot 4}{100} = \frac{900 + 3200 + 7500 + 51300 + 18375 + 6400}{100} = 876,75 \] \[ \sigma_x = \sqrt{\bar{x^2} - (\bar{x})^2} = \sqrt{876,75 - 29,15^2} = \sqrt{876,75 - 849,7225} = \sqrt{27,0275} \approx 5,199 \] \[ \bar{y^2} = \frac{\sum n_{y_j} y_j^2}{n} = \frac{5^2 \cdot 6 + 10^2 \cdot 10 + 15^2 \cdot 53 + 20^2 \cdot 16 + 25^2 \cdot 15}{100} = \frac{150 + 1000 + 11925 + 6400 + 9375}{100} = 288,5 \] \[ \sigma_y = \sqrt{\bar{y^2} - (\bar{y})^2} = \sqrt{288,5 - 16,2^2} = \sqrt{288,5 - 262,44} = \sqrt{26,06} \approx 5,105 \] 3. Вычислим выборочный коэффициент корреляции \( r_B \): Для этого найдем сумму \( \sum n_{xy} x y \): \[ \sum n_{xy} x y = (4 \cdot 15 \cdot 5) + (2 \cdot 20 \cdot 5) + (6 \cdot 20 \cdot 10) + (4 \cdot 25 \cdot 10) + (6 \cdot 25 \cdot 15) + (45 \cdot 30 \cdot 15) + (2 \cdot 35 \cdot 15) + (2 \cdot 25 \cdot 20) + (8 \cdot 30 \cdot 20) + (6 \cdot 35 \cdot 20) + (4 \cdot 30 \cdot 25) + (7 \cdot 35 \cdot 25) + (4 \cdot 40 \cdot 25) \] \[ \sum n_{xy} x y = 300 + 200 + 1200 + 1000 + 2250 + 20250 + 1050 + 1000 + 4800 + 4200 + 3000 + 6125 + 4000 = 49375 \] \[ r_B = \frac{\frac{1}{n} \sum n_{xy} x y - \bar{x} \bar{y}}{\sigma_x \sigma_y} = \frac{493,75 - 29,15 \cdot 16,2}{5,199 \cdot 5,105} = \frac{493,75 - 472,23}{26,54} = \frac{21,52}{26,54} \approx 0,811 \] 4. Составим уравнение регрессии: \[ \bar{y}_x - 16,2 = 0,811 \cdot \frac{5,105}{5,199} (x - 29,15) \] \[ \bar{y}_x - 16,2 = 0,811 \cdot 0,982 (x - 29,15) \] \[ \bar{y}_x - 16,2 = 0,796 (x - 29,15) \] \[ \bar{y}_x = 0,796x - 23,20 + 16,2 \] \[ \bar{y}_x = 0,796x - 7,00 \] Ответ: \( \bar{y}_x = 0,796x - 7,00 \)