Решение задачи по теории вероятностей

Решение задачи: Пусть \(x\) — вероятность того, что пациент действительно болен. Тогда вероятность того, что пациент здоров, равна \(1 - x\). Введем события: \(A\) — тест оказался положительным. \(H_1\) — пациент болен. \(H_2\) — пациент здоров. Из условия задачи нам известны следующие вероятности: 1. Вероятность положительного теста при условии болезни: \(P(A|H_1) = 0,86\). 2. Вероятность отрицательного теста при условии здоровья: \(0,92\). Значит, вероятность ложноположительного теста (тест положителен, хотя пациент здоров): \(P(A|H_2) = 1 - 0,92 = 0,08\). 3. Общая вероятность положительного теста: \(P(A) = 0,12\). Используем формулу полной вероятности: \[P(A) = P(H_1) \cdot P(A|H_1) + P(H_2) \cdot P(A|H_2)\] Подставим значения: \[0,12 = x \cdot 0,86 + (1 - x) \cdot 0,08\] \[0,12 = 0,86x + 0,08 - 0,08x\] \[0,12 - 0,08 = 0,78x\] \[0,04 = 0,78x\] \[x = \frac{0,04}{0,78} = \frac{4}{78} = \frac{2}{39}\] Нам нужно найти вероятность того, что пациент болен, если тест уже оказался положительным. Это делается по формуле Байеса: \[P(H_1|A) = \frac{P(H_1) \cdot P(A|H_1)}{P(A)}\] Подставляем данные: \[P(H_1|A) = \frac{\frac{2}{39} \cdot 0,86}{0,12} = \frac{\frac{2}{39} \cdot \frac{86}{100}}{\frac{12}{100}} = \frac{2 \cdot 86}{39 \cdot 12} = \frac{172}{468} = \frac{43}{117}\] Вычислим значение: \[\frac{43}{117} \approx 0,36752...\] Переведем в проценты: \[0,36752 \cdot 100 = 36,752...\%\] Округляем до 0,1%: \[36,8\] Ответ: 36,8