Решение задачи: вероятность нормального распределения в интервале

Задача по теории вероятностей. Дано: Случайная величина \( X \) распределена нормально. Математическое ожидание \( a = M(X) = -0,1 \). Среднеквадратическое отклонение \( \sigma(X) = 3,3 \). Интервал \( (\alpha; \beta) = (-2; 6,4) \). Найти: \( P(-2 < X < 6,4) \). Решение: Для нахождения вероятности попадания нормально распределенной случайной величины в интервал используется формула: \[ P(\alpha < X < \beta) = \Phi\left(\frac{\beta - a}{\sigma}\right) - \Phi\left(\frac{\alpha - a}{\sigma}\right) \] где \( \Phi(x) \) — функция Лапласа. 1. Подставим значения в аргументы функции: \[ \frac{\beta - a}{\sigma} = \frac{6,4 - (-0,1)}{3,3} = \frac{6,4 + 0,1}{3,3} = \frac{6,5}{3,3} \approx 1,97 \] \[ \frac{\alpha - a}{\sigma} = \frac{-2 - (-0,1)}{3,3} = \frac{-2 + 0,1}{3,3} = \frac{-1,9}{3,3} \approx -0,58 \] 2. Запишем выражение для вероятности: \[ P(-2 < X < 6,4) = \Phi(1,97) - \Phi(-0,58) \] Так как функция Лапласа нечетная, то \( \Phi(-x) = -\Phi(x) \). Следовательно: \[ P(-2 < X < 6,4) = \Phi(1,97) + \Phi(0,58) \] 3. Найдем значения функции по таблице Лапласа: \[ \Phi(1,97) \approx 0,4756 \] \[ \Phi(0,58) \approx 0,2190 \] 4. Вычислим итоговую вероятность: \[ P = 0,4756 + 0,2190 = 0,6946 \] Округляем до 0,01 согласно условию. Ответ: 0,69.