Нахождение обратной матрицы методом Гаусса-Жордана

На изображении представлена расширенная матрица, используемая для нахождения обратной матрицы методом Гаусса-Жордана. Слева находится исходная матрица \(A\), справа — единичная матрица \(E\). Задача: найти обратную матрицу \(A^{-1}\) для матрицы: \[A = \begin{pmatrix} 5 & 0 & 1 \\ -2 & -3 & 4 \\ -1 & 2 & 2 \end{pmatrix}\] Решение: 1. Запишем расширенную матрицу: \[\left( \begin{array}{ccc|ccc} 5 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ -2 & -3 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)\] 2. Для удобства вычислений поменяем первую и третью строки местами и умножим новую первую строку на \(-1\): \[\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & -2 & -2 & 0 & 0 & -1 \\ -2 & -3 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 5 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right)\] 3. Обнулим элементы в первом столбце под единицей. Ко второй строке прибавим первую, умноженную на \(2\). Из третьей строки вычтем первую, умноженную на \(5\): \[\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & -2 & -2 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & -7 & 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 10 & 11 & 1 & 0 & 5 \end{array} \right)\] 4. Разделим вторую строку на \(-7\): \[\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & -2 & -2 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & -1/7 & 2/7 \\ 0 & 10 & 11 & 1 & 0 & 5 \end{array} \right)\] 5. Обнулим элементы во втором столбце. К первой строке прибавим вторую, умноженную на \(2\). Из третьей строки вычтем вторую, умноженную на \(10\): \[\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -2 & 0 & -2/7 & -3/7 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & -1/7 & 2/7 \\ 0 & 0 & 11 & 1 & 10/7 & 15/7 \end{array} \right)\] 6. Разделим третью строку на \(11\): \[\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -2 & 0 & -2/7 & -3/7 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & -1/7 & 2/7 \\ 0 & 0 & 1 & 1/11 & 10/77 & 15/77 \end{array} \right)\] 7. Последний шаг: обнулим элемент над единицей в третьем столбце. К первой строке прибавим третью, умноженную на \(2\): \[\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 2/11 & -2/77 & -3/77 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & -11/77 & 22/77 \\ 0 & 0 & 1 & 7/77 & 10/77 & 15/77 \end{array} \right)\] Ответ: Обратная матрица \(A^{-1}\) равна: \[A^{-1} = \frac{1}{77} \begin{pmatrix} 14 & -2 & -3 \\ 0 & -11 & 22 \\ 7 & 10 & 15 \end{pmatrix}\]