Решение системы неравенств

Вариант 1 Задание 1. Решите систему неравенств: а) \[ \begin{cases} y + 4 \leqslant 0 \\ 5y + 15 \leqslant 0 \end{cases} \] Решение: \[ \begin{cases} y \leqslant -4 \\ 5y \leqslant -15 \end{cases} \] \[ \begin{cases} y \leqslant -4 \\ y \leqslant -3 \end{cases} \] Выбираем общее решение (пересечение промежутков): \[ y \leqslant -4 \] Ответ: \( y \in (-\infty; -4] \) б) \[ \begin{cases} 8y - 5 < 6y + 3 \\ y + 3 < 4y - 9 \end{cases} \] Решение: \[ \begin{cases} 8y - 6y < 3 + 5 \\ y - 4y < -9 - 3 \end{cases} \] \[ \begin{cases} 2y < 8 \\ -3y < -12 \end{cases} \] \[ \begin{cases} y < 4 \\ y > 4 \end{cases} \] Система не имеет решений, так как нет чисел, которые одновременно меньше 4 и больше 4. Ответ: решений нет. Задание 2. Решите систему неравенств: а) \[ \begin{cases} 5x^2 - 23x - 10 < 0 \\ x^2 - 4 > 0 \end{cases} \] Решение: 1) Решим первое неравенство \( 5x^2 - 23x - 10 < 0 \). Находим корни уравнения \( 5x^2 - 23x - 10 = 0 \): \[ D = (-23)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-10) = 529 + 200 = 729 = 27^2 \] \[ x_1 = \frac{23 + 27}{10} = 5; \quad x_2 = \frac{23 - 27}{10} = -0,4 \] Решение первого неравенства: \( x \in (-0,4; 5) \). 2) Решим второе неравенство \( x^2 - 4 > 0 \): \[ (x - 2)(x + 2) > 0 \] Корни: \( x = 2, x = -2 \). Решение второго неравенства: \( x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty) \). 3) Находим пересечение решений: Интервал \( (-0,4; 5) \) пересекается с \( (2; +\infty) \) в промежутке \( (2; 5) \). Ответ: \( x \in (2; 5) \) Задание 3. Решите систему неравенств: а) \[ \begin{cases} 7x^2 + 16x + 4 > 0 \\ 3x \leqslant 0 \end{cases} \] Решение: 1) Решим первое неравенство \( 7x^2 + 16x + 4 > 0 \). Находим корни уравнения \( 7x^2 + 16x + 4 = 0 \): \[ D = 16^2 - 4 \cdot 7 \cdot 4 = 256 - 112 = 144 = 12^2 \] \[ x_1 = \frac{-16 + 12}{14} = -\frac{4}{14} = -\frac{2}{7}; \quad x_2 = \frac{-16 - 12}{14} = -2 \] Решение первого неравенства: \( x \in (-\infty; -2) \cup (-\frac{2}{7}; +\infty) \). 2) Решим второе неравенство: \[ 3x \leqslant 0 \Rightarrow x \leqslant 0 \] 3) Находим пересечение: Объединяем условия \( x \leqslant 0 \) и \( x \in (-\infty; -2) \cup (-\frac{2}{7}; +\infty) \). Получаем: \( x \in (-\infty; -2) \cup (-\frac{2}{7}; 0] \). Ответ: \( x \in (-\infty; -2) \cup (-\frac{2}{7}; 0] \)