Решение задачи: Угол и линия пересечения двух плоскостей

Задача №2. Даны уравнения плоскостей: \[ P_1: 2x + 3y - 4z + 1 = 0 \] \[ P_2: 3x - 2y - z + 4 = 0 \] Требуется: 1. Найти угол между плоскостями \( P_1 \) и \( P_2 \). 2. Составить канонические уравнения линии их пересечения. Решение: 1. Нахождение угла между плоскостями. Угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами. Выпишем координаты нормальных векторов из коэффициентов уравнений: \[ \vec{n_1} = \{2; 3; -4\} \] \[ \vec{n_2} = \{3; -2; -1\} \] Косинус угла \( \varphi \) между плоскостями вычисляется по формуле: \[ \cos \varphi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|} \] Вычислим скалярное произведение: \[ \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 2 \cdot 3 + 3 \cdot (-2) + (-4) \cdot (-1) = 6 - 6 + 4 = 4 \] Вычислим длины векторов: \[ |\vec{n_1}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 9 + 16} = \sqrt{29} \] \[ |\vec{n_2}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 4 + 1} = \sqrt{14} \] Тогда: \[ \cos \varphi = \frac{4}{\sqrt{29} \cdot \sqrt{14}} = \frac{4}{\sqrt{406}} \] \[ \varphi = \arccos \left( \frac{4}{\sqrt{406}} \right) \] 2. Составление канонических уравнений линии пересечения. Направляющий вектор прямой \( \vec{s} \) перпендикулярен обоим нормальным векторам, поэтому его можно найти как их векторное произведение: \[ \vec{s} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 3 & -4 \\ 3 & -2 & -1 \end{vmatrix} \] \[ \vec{s} = \vec{i} \cdot (3 \cdot (-1) - (-4) \cdot (-2)) - \vec{j} \cdot (2 \cdot (-1) - (-4) \cdot 3) + \vec{k} \cdot (2 \cdot (-2) - 3 \cdot 3) \] \[ \vec{s} = \vec{i} \cdot (-3 - 8) - \vec{j} \cdot (-2 + 12) + \vec{k} \cdot (-4 - 9) = -11\vec{i} - 10\vec{j} - 13\vec{k} \] \[ \vec{s} = \{-11; -10; -13\} \] Для удобства можно взять вектор \( \vec{s} = \{11; 10; 13\} \). Найдем какую-нибудь точку \( M_0(x_0, y_0, z_0) \), лежащую на линии пересечения. Пусть \( z_0 = 0 \). Тогда имеем систему: \[ \begin{cases} 2x + 3y + 1 = 0 \\ 3x - 2y + 4 = 0 \end{cases} \] Умножим первое уравнение на 2, второе на 3: \[ \begin{cases} 4x + 6y + 2 = 0 \\ 9x - 6y + 12 = 0 \end{cases} \] Сложим уравнения: \[ 13x + 14 = 0 \Rightarrow x_0 = -\frac{14}{13} \] Подставим в первое уравнение: \[ 2 \cdot \left(-\frac{14}{13}\right) + 3y + 1 = 0 \Rightarrow -\frac{28}{13} + 3y + \frac{13}{13} = 0 \Rightarrow 3y = \frac{15}{13} \Rightarrow y_0 = \frac{5}{13} \] Точка \( M_0 \left( -\frac{14}{13}; \frac{5}{13}; 0 \right) \). Канонические уравнения прямой: \[ \frac{x - x_0}{l} = \frac{y - y_0}{m} = \frac{z - z_0}{n} \] \[ \frac{x + \frac{14}{13}}{11} = \frac{y - \frac{5}{13}}{10} = \frac{z}{13} \] Ответ: Угол: \( \varphi = \arccos \left( \frac{4}{\sqrt{406}} \right) \). Уравнения прямой: \( \frac{x + 14/13}{11} = \frac{y - 5/13}{10} = \frac{z}{13} \).