Решение задачи: Площади треугольников ABC и KLM

Дано: В треугольниках \(ABC\) и \(KLM\) угол \(A\) равен углу \(K\). Площадь треугольника \(ABC\) равна \(S_{ABC} = 14\). Отношения сторон: \(AB : KL = 4 : 5\) и \(AC : KM = 2 : 1\). Найти: \(S_{KLM}\). Решение: Воспользуемся теоремой об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу: если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих эти углы. Запишем формулу отношения площадей: \[ \frac{S_{ABC}}{S_{KLM}} = \frac{AB \cdot AC}{KL \cdot KM} \] Преобразуем правую часть выражения, используя данные отношения сторон: \[ \frac{AB \cdot AC}{KL \cdot KM} = \frac{AB}{KL} \cdot \frac{AC}{KM} \] Подставим числовые значения отношений: \[ \frac{S_{ABC}}{S_{KLM}} = \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{1} = \frac{8}{5} \] Теперь подставим известную площадь \(S_{ABC} = 14\) в полученное уравнение: \[ \frac{14}{S_{KLM}} = \frac{8}{5} \] Выразим \(S_{KLM}\): \[ S_{KLM} = \frac{14 \cdot 5}{8} \] \[ S_{KLM} = \frac{70}{8} \] \[ S_{KLM} = 8,75 \] Ответ: \(S_{KLM} = 8,75\).