Решение задачи: высота и катет в прямоугольном треугольнике

Ниже представлено решение задач I варианта из вашей карточки. Оформление выполнено в виде, удобном для переписывания в школьную тетрадь. I вариант Задача 1 Дано: \( \triangle ABC \), \( \angle C = 90^\circ \) \( CD \perp AB \) (высота) \( AD = 16 \) см \( BD = 9 \) см Найти: \( CD, AC \) Решение: 1. По свойству высоты прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла, квадрат высоты равен произведению проекций катетов на гипотенузу: \[ CD^2 = AD \cdot BD \] \[ CD^2 = 16 \cdot 9 = 144 \] \[ CD = \sqrt{144} = 12 \text{ (см)} \] 2. Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу: \[ AC^2 = AD \cdot AB \] Сначала найдем гипотенузу \( AB \): \[ AB = AD + BD = 16 + 9 = 25 \text{ (см)} \] Теперь найдем \( AC \): \[ AC^2 = 16 \cdot 25 = 400 \] \[ AC = \sqrt{400} = 20 \text{ (см)} \] Ответ: \( CD = 12 \) см, \( AC = 20 \) см. Задача 2 Дано: \( \triangle ABC \), \( \angle C = 90^\circ \) \( b = 15 \) (катет \( AC \)) \( c = 17 \) (гипотенуза \( AB \)) Найти: \( a, b_c, a_c, h \) (где \( a \) — катет \( BC \), \( b_c \) — проекция \( AC \), \( a_c \) — проекция \( BC \), \( h \) — высота \( CD \)) Решение: 1. Найдем катет \( a \) по теореме Пифагора: \[ a^2 = c^2 - b^2 \] \[ a^2 = 17^2 - 15^2 = 289 - 225 = 64 \] \[ a = \sqrt{64} = 8 \] 2. Найдем проекцию катета \( b \) на гипотенузу (\( b_c \)): \[ b^2 = b_c \cdot c \implies b_c = \frac{b^2}{c} \] \[ b_c = \frac{15^2}{17} = \frac{225}{17} = 13\frac{4}{17} \] 3. Найдем проекцию катета \( a \) на гипотенузу (\( a_c \)): \[ a_c = c - b_c \] \[ a_c = 17 - \frac{225}{17} = \frac{289 - 225}{17} = \frac{64}{17} = 3\frac{13}{17} \] 4. Найдем высоту \( h \): \[ h^2 = a_c \cdot b_c \] \[ h^2 = \frac{64}{17} \cdot \frac{225}{17} \] \[ h = \sqrt{\frac{64 \cdot 225}{17^2}} = \frac{8 \cdot 15}{17} = \frac{120}{17} = 7\frac{1}{17} \] Ответ: \( a = 8 \), \( b_c = 13\frac{4}{17} \), \( a_c = 3\frac{13}{17} \), \( h = 7\frac{1}{17} \).