Задание 154: Упрощение алгебраического выражения

Задание 154. Выполните действия. а) \(\frac{a^2 - 25}{a + 3} \cdot \frac{1}{a^2 + 5a} - \frac{a + 5}{a^2 - 3a}\) Решение: 1. Сначала выполним умножение первых двух дробей. Разложим числители и знаменатели на множители: \[ \frac{(a - 5)(a + 5)}{a + 3} \cdot \frac{1}{a(a + 5)} \] Сократим на \((a + 5)\): \[ \frac{a - 5}{a(a + 3)} = \frac{a - 5}{a^2 + 3a} \] 2. Теперь выполним вычитание: \[ \frac{a - 5}{a(a + 3)} - \frac{a + 5}{a(a - 3)} \] Общий знаменатель: \(a(a + 3)(a - 3)\). Дополнительный множитель для первой дроби: \((a - 3)\), для второй: \((a + 3)\). \[ \frac{(a - 5)(a - 3) - (a + 5)(a + 3)}{a(a - 3)(a + 3)} \] Раскроем скобки в числителе: \[ \frac{(a^2 - 3a - 5a + 15) - (a^2 + 3a + 5a + 15)}{a(a^2 - 9)} \] \[ \frac{a^2 - 8a + 15 - a^2 - 8a - 15}{a(a^2 - 9)} \] Приведем подобные слагаемые: \[ \frac{-16a}{a(a^2 - 9)} \] Сократим на \(a\): \[ \frac{-16}{a^2 - 9} \text{ или } \frac{16}{9 - a^2} \] Ответ: \(\frac{16}{9 - a^2}\) б) \(\frac{1 - 2x}{2x + 1} + \frac{x^2 + 3x}{4x^2 - 1} : \frac{3 + x}{4x + 2}\) Решение: 1. Сначала выполним деление. Заменим деление умножением на обратную дробь и разложим выражения на множители: \[ \frac{x(x + 3)}{(2x - 1)(2x + 1)} \cdot \frac{2(2x + 1)}{x + 3} \] Сократим на \((x + 3)\) и \((2x + 1)\): \[ \frac{2x}{2x - 1} \] 2. Теперь выполним сложение: \[ \frac{1 - 2x}{2x + 1} + \frac{2x}{2x - 1} \] Чтобы знаменатели были похожи, вынесем минус в первой дроби: \[ -\frac{2x - 1}{2x + 1} + \frac{2x}{2x - 1} \] Общий знаменатель: \((2x + 1)(2x - 1)\). \[ \frac{-(2x - 1)^2 + 2x(2x + 1)}{(2x + 1)(2x - 1)} \] Раскроем скобки: \[ \frac{-(4x^2 - 4x + 1) + 4x^2 + 2x}{4x^2 - 1} \] \[ \frac{-4x^2 + 4x - 1 + 4x^2 + 2x}{4x^2 - 1} \] Приведем подобные слагаемые: \[ \frac{6x - 1}{4x^2 - 1} \] Ответ: \(\frac{6x - 1}{4x^2 - 1}\)