Решение задачи: Найти расстояние от точки до прямой в треугольнике

Дано: \( \triangle ABC \), \( \angle C = 90^\circ \), \( \angle A = 30^\circ \), \( AC = 8 \), \( MC \perp (ABC) \). Найти расстояние: а) от точки \( C \) до \( AB \); б) от точки \( M \) до прямой \( AB \). Решение: а) Расстоянием от точки \( C \) до прямой \( AB \) является высота \( CH \), проведенная к гипотенузе \( AB \). Рассмотрим прямоугольный треугольник \( ACH \) (где \( \angle CHA = 90^\circ \)). В нем гипотенуза \( AC = 8 \), а угол \( \angle A = 30^\circ \). По определению синуса: \[ \sin A = \frac{CH}{AC} \] Отсюда: \[ CH = AC \cdot \sin 30^\circ = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4 \] Ответ а): 4. б) Чтобы найти расстояние от точки \( M \) до прямой \( AB \), воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах. Так как \( MC \perp (ABC) \) и \( CH \perp AB \), то наклонная \( MH \perp AB \). Следовательно, искомое расстояние — это длина отрезка \( MH \). Рассмотрим прямоугольный треугольник \( MCH \) (так как \( MC \perp CH \)). По теореме Пифагора: \[ MH = \sqrt{MC^2 + CH^2} \] В условии задачи не указано числовое значение для отрезка \( MC \). Если в условии подразумевается, что \( MC \) равно какому-то числу (например, \( MC = AC = 8 \) или иное), его нужно подставить в формулу. Если значение \( MC \) не дано, ответ записывается в общем виде: \[ MH = \sqrt{MC^2 + 16} \] Если же в условии была опечатка и, например, \( MC = 3 \), то: \[ MH = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5 \] Проверьте значение \( MC \) в тексте вашего учебника. Если оно не задано, используйте общую формулу. Ответ б): \( \sqrt{MC^2 + 16} \).