Решение контрольной работы: Квадратные уравнения, Вариант 1

Контрольная работа по теме: «Квадратные уравнения. Квадратный трехчлен» Вариант 1 Часть 1. Решите квадратные уравнения 1. \(x^2 - 9x + 20 = 0\) По теореме Виета: \[x_1 + x_2 = 9\] \[x_1 \cdot x_2 = 20\] Методом подбора находим корни: \[x_1 = 4, x_2 = 5\] Ответ: 4; 5. 2. \(3x^2 + 5x - 2 = 0\) Находим дискриминант: \[D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49\] \[\sqrt{D} = 7\] Находим корни: \[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 7}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 7}{6} = \frac{-12}{6} = -2\] Ответ: \(-2; \frac{1}{3}\). 3. \(4x^2 - 12x + 9 = 0\) Находим дискриминант: \[D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0\] Так как \(D = 0\), уравнение имеет один корень: \[x = \frac{-b}{2a} = \frac{12}{8} = 1,5\] Ответ: 1,5. 4. \(x^2 - 16 = 0\) \[x^2 = 16\] \[x = \pm \sqrt{16}\] \[x_1 = 4, x_2 = -4\] Ответ: -4; 4. Часть 2. Работа с квадратным трехчленом 5. Разложите на множители: \(x^2 - 11x + 28\) Найдем корни уравнения \(x^2 - 11x + 28 = 0\) по теореме Виета: \[x_1 + x_2 = 11\] \[x_1 \cdot x_2 = 28\] Корни: \(x_1 = 4, x_2 = 7\). Разложение по формуле \(a(x - x_1)(x - x_2)\): \[x^2 - 11x + 28 = (x - 4)(x - 7)\] 6. Найдите сумму и произведение корней \(2x^2 - 7x + 3 = 0\), не решая его. По теореме Виета для уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\): Сумма корней: \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-7}{2} = 3,5\) Произведение корней: \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{3}{2} = 1,5\) Ответ: сумма 3,5; произведение 1,5. 7. Определите количество корней трехчлена \(-x^2 + 2x - 5\). Вычислим дискриминант: \[D = 2^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-5) = 4 - 20 = -16\] Так как \(D < 0\), квадратный трехчлен не имеет корней. Ответ: корней нет. Часть 3. Задача 8. Условие: одна сторона прямоугольника на 3 см больше другой, площадь равна 88 \(см^2\). Пусть \(x\) см — меньшая сторона, тогда \((x + 3)\) см — большая сторона. Составим уравнение: \[x(x + 3) = 88\] \[x^2 + 3x - 88 = 0\] Решим уравнение: \[D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-88) = 9 + 352 = 361\] \[\sqrt{D} = 19\] \[x_1 = \frac{-3 + 19}{2} = \frac{16}{2} = 8\] \[x_2 = \frac{-3 - 19}{2} = -11\] (не подходит, так как длина не может быть отрицательной) Меньшая сторона \(x = 8\) см. Большая сторона \(x + 3 = 8 + 3 = 11\) см. Ответ: 8 см и 11 см.