Решение интеграла ∫ dx/(5 + 9x²)

Ниже представлено подробное решение задач для записи в тетрадь. Задание 1. Вычислить интеграл: \[ \int \frac{dx}{5 + 9x^2} \] Решение: Для решения воспользуемся табличной формулой: \[ \int \frac{du}{a^2 + u^2} = \frac{1}{a} \text{arctg} \frac{u}{a} + C \] Преобразуем знаменатель так, чтобы выделить квадраты: \[ 5 + 9x^2 = (\sqrt{5})^2 + (3x)^2 \] Пусть \( u = 3x \), тогда \( du = 3dx \), следовательно \( dx = \frac{du}{3} \). Подставим в интеграл: \[ \int \frac{dx}{5 + 9x^2} = \int \frac{\frac{1}{3} du}{(\sqrt{5})^2 + u^2} = \frac{1}{3} \int \frac{du}{(\sqrt{5})^2 + u^2} \] Применяем формулу, где \( a = \sqrt{5} \): \[ \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} \text{arctg} \frac{u}{\sqrt{5}} + C = \frac{1}{3\sqrt{5}} \text{arctg} \frac{3x}{\sqrt{5}} + C \] Ответ: \( \frac{1}{3\sqrt{5}} \text{arctg} \frac{3x}{\sqrt{5}} + C \) Задание 2. Вычислить интеграл: \[ \int \frac{x^3 + 8}{x^2 - 2x + 4} dx \] Решение: Заметим, что в числителе стоит сумма кубов. Разложим её по формуле \( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \): \[ x^3 + 8 = x^3 + 2^3 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4) \] Теперь подставим разложение в интеграл: \[ \int \frac{(x + 2)(x^2 - 2x + 4)}{x^2 - 2x + 4} dx \] Сокращаем дробь на общий множитель \( (x^2 - 2x + 4) \): \[ \int (x + 2) dx \] Интегрируем почленно: \[ \int x dx + \int 2 dx = \frac{x^2}{2} + 2x + C \] Ответ: \( \frac{x^2}{2} + 2x + C \)