Решение системы линейных уравнений методом Гаусса

На фотографии представлена расширенная матрица системы линейных уравнений. Решим эту систему методом Гаусса (методом исключения неизвестных). Запишем систему уравнений, соответствующую матрице: \[ \begin{cases} 2x_1 + 3x_2 - x_3 - 3x_4 + 4x_5 = 5 \\ 3x_1 - x_2 + 2x_3 + 2x_4 - x_5 = 3 \\ -2x_1 + 3x_2 + 0x_3 - 4x_4 + 5x_5 = 2 \\ 6x_1 + 4x_2 + 3x_3 - 3x_4 + 7x_5 = 13 \end{cases} \] Для удобства вычислений поменяем первую и вторую строки местами, так как во второй строке коэффициент при \(x_2\) равен \(-1\) (он обведен в кружок на фото, что удобно для исключения): \[ \left( \begin{array}{ccccc|c} 3 & -1 & 2 & 2 & -1 & 3 \\ 2 & 3 & -1 & -3 & 4 & 5 \\ -2 & 3 & 0 & -4 & 5 & 2 \\ 6 & 4 & 3 & -3 & 7 & 13 \end{array} \right) \] Шаг 1. Исключим \(x_2\) из всех строк, кроме первой. Ко второй строке прибавим первую, умноженную на 3. К третьей строке прибавим первую, умноженную на 3. К четвертой строке прибавим первую, умноженную на 4. Получим: \[ \left( \begin{array}{ccccc|c} 3 & -1 & 2 & 2 & -1 & 3 \\ 11 & 0 & 5 & 3 & 1 & 14 \\ 7 & 0 & 6 & 2 & 2 & 11 \\ 18 & 0 & 11 & 5 & 3 & 25 \end{array} \right) \] Шаг 2. Заметим связь между строками. Если сложить вторую и третью строки: \[ (11+7)x_1 + (5+6)x_3 + (3+2)x_4 + (1+2)x_5 = 14+11 \] \[ 18x_1 + 11x_3 + 5x_4 + 3x_5 = 25 \] Это в точности совпадает с четвертой строкой. Значит, четвертое уравнение является следствием второго и третьего и его можно удалить. Система имеет бесконечное множество решений. Оставим базисный минор и выразим переменные. Для простоты школьного решения обычно находят одно из частных решений или выражают зависимые переменные через свободные. Выразим \(x_5\) из второй строки: \[ x_5 = 14 - 11x_1 - 5x_3 - 3x_4 \] Подставим в третью строку: \[ 7x_1 + 6x_3 + 2x_4 + 2(14 - 11x_1 - 5x_3 - 3x_4) = 11 \] \[ 7x_1 + 6x_3 + 2x_4 + 28 - 22x_1 - 10x_3 - 6x_4 = 11 \] \[ -15x_1 - 4x_3 - 4x_4 = -17 \] \[ 15x_1 + 4x_3 + 4x_4 = 17 \] Отсюда можно выразить \(x_4\): \[ 4x_4 = 17 - 15x_1 - 4x_3 \implies x_4 = 4.25 - 3.75x_1 - x_3 \] Таким образом, переменные \(x_1\) и \(x_3\) можно считать свободными параметрами, через которые выражаются остальные неизвестные. Ответ: Система совместна, имеет бесконечное количество решений (неопределенная). Четвертое уравнение является лишним.