Задача 3.15
Даны векторы:
\[ \vec{a} = 2\vec{i} - 4\vec{j} - 2\vec{k} \] \[ \vec{b} = -9\vec{i} + 2\vec{k} \] \[ \vec{c} = 3\vec{i} + 5\vec{j} - 7\vec{k} \]Решение:
а) Найти векторы \( 7\vec{a} \), \( 5\vec{b} \), \( -\vec{c} \).
Чтобы умножить вектор на число, нужно умножить каждую его координату на это число.
1. Найдем \( 7\vec{a} \):
\[ 7\vec{a} = 7 \cdot (2\vec{i} - 4\vec{j} - 2\vec{k}) \] \[ 7\vec{a} = (7 \cdot 2)\vec{i} + (7 \cdot (-4))\vec{j} + (7 \cdot (-2))\vec{k} \] \[ 7\vec{a} = 14\vec{i} - 28\vec{j} - 14\vec{k} \]2. Найдем \( 5\vec{b} \):
\[ 5\vec{b} = 5 \cdot (-9\vec{i} + 0\vec{j} + 2\vec{k}) \]Обратите внимание, что у вектора \( \vec{b} \) отсутствует координата по \( \vec{j} \), это означает, что она равна нулю.
\[ 5\vec{b} = (5 \cdot (-9))\vec{i} + (5 \cdot 0)\vec{j} + (5 \cdot 2)\vec{k} \] \[ 5\vec{b} = -45\vec{i} + 0\vec{j} + 10\vec{k} \] \[ 5\vec{b} = -45\vec{i} + 10\vec{k} \]3. Найдем \( -\vec{c} \):
\[ -\vec{c} = -1 \cdot (3\vec{i} + 5\vec{j} - 7\vec{k}) \] \[ -\vec{c} = (-1 \cdot 3)\vec{i} + (-1 \cdot 5)\vec{j} + (-1 \cdot (-7))\vec{k} \] \[ -\vec{c} = -3\vec{i} - 5\vec{j} + 7\vec{k} \]Ответ к а):
\[ 7\vec{a} = 14\vec{i} - 28\vec{j} - 14\vec{k} \] \[ 5\vec{b} = -45\vec{i} + 10\vec{k} \] \[ -\vec{c} = -3\vec{i} - 5\vec{j} + 7\vec{k} \]б) Найти векторы \( -5\vec{a} \) и \( 4\vec{b} \).
1. Найдем \( -5\vec{a} \):
\[ -5\vec{a} = -5 \cdot (2\vec{i} - 4\vec{j} - 2\vec{k}) \] \[ -5\vec{a} = (-5 \cdot 2)\vec{i} + (-5 \cdot (-4))\vec{j} + (-5 \cdot (-2))\vec{k} \] \[ -5\vec{a} = -10\vec{i} + 20\vec{j} + 10\vec{k} \]2. Найдем \( 4\vec{b} \):
\[ 4\vec{b} = 4 \cdot (-9\vec{i} + 0\vec{j} + 2\vec{k}) \] \[ 4\vec{b} = (4 \cdot (-9))\vec{i} + (4 \cdot 0)\vec{j} + (4 \cdot 2)\vec{k} \] \[ 4\vec{b} = -36\vec{i} + 0\vec{j} + 8\vec{k} \] \[ 4\vec{b} = -36\vec{i} + 8\vec{k} \]Ответ к б):
\[ -5\vec{a} = -10\vec{i} + 20\vec{j} + 10\vec{k} \] \[ 4\vec{b} = -36\vec{i} + 8\vec{k} \]в) Найти векторы \( 3\vec{b} \) и \( -8\vec{c} \).
1. Найдем \( 3\vec{b} \):
\[ 3\vec{b} = 3 \cdot (-9\vec{i} + 0\vec{j} + 2\vec{k}) \] \[ 3\vec{b} = (3 \cdot (-9))\vec{i} + (3 \cdot 0)\vec{j} + (3 \cdot 2)\vec{k} \] \[ 3\vec{b} = -27\vec{i} + 0\vec{j} + 6\vec{k} \] \[ 3\vec{b} = -27\vec{i} + 6\vec{k} \]2. Найдем \( -8\vec{c} \):
\[ -8\vec{c} = -8 \cdot (3\vec{i} + 5\vec{j} - 7\vec{k}) \] \[ -8\vec{c} = (-8 \cdot 3)\vec{i} + (-8 \cdot 5)\vec{j} + (-8 \cdot (-7))\vec{k} \] \[ -8\vec{c} = -24\vec{i} - 40\vec{j} + 56\vec{k} \]Ответ к в):
\[ 3\vec{b} = -27\vec{i} + 6\vec{k} \] \[ -8\vec{c} = -24\vec{i} - 40\vec{j} + 56\vec{k} \]г) Найти скалярное произведение \( \vec{a} \cdot \vec{c} \).
Скалярное произведение двух векторов \( \vec{u} = u_x\vec{i} + u_y\vec{j} + u_z\vec{k} \) и \( \vec{v} = v_x\vec{i} + v_y\vec{j} + v_z\vec{k} \) вычисляется по формуле:
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z \]Для векторов \( \vec{a} = 2\vec{i} - 4\vec{j} - 2\vec{k} \) и \( \vec{c} = 3\vec{i} + 5\vec{j} - 7\vec{k} \):
\[ \vec{a} \cdot \vec{c} = (2)(3) + (-4)(5) + (-2)(-7) \] \[ \vec{a} \cdot \vec{c} = 6 - 20 + 14 \] \[ \vec{a} \cdot \vec{c} = -14 + 14 \] \[ \vec{a} \cdot \vec{c} = 0 \]Ответ к г):
\[ \vec{a} \cdot \vec{c} = 0 \]д) Найти векторы \( 7\vec{a} \), \( \vec{b} \), \( -\vec{c} \).
Вектор \( 7\vec{a} \) уже был найден в пункте а):
\[ 7\vec{a} = 14\vec{i} - 28\vec{j} - 14\vec{k} \]Вектор \( \vec{b} \) дан в условии:
\[ \vec{b} = -9\vec{i} + 2\vec{k} \]Вектор \( -\vec{c} \) уже был найден в пункте а):
\[ -\vec{c} = -3\vec{i} - 5\vec{j} + 7\vec{k} \]Ответ к д):
\[ 7\vec{a} = 14\vec{i} - 28\vec{j} - 14\vec{k} \] \[ \vec{b} = -9\vec{i} + 2\vec{k} \] \[ -\vec{c} = -3\vec{i} - 5\vec{j} + 7\vec{k} \]