Решение контрольной работы по теме «Треугольники». Вариант 4

Контрольная работа по теме «Треугольники» Вариант 4. Часть I. № 1. Используя рисунок, укажите верные утверждения: Решение: 1) Найдем третий угол треугольника \( \triangle ABC \). Сумма углов треугольника равна \( 180^\circ \). \[ \angle B = 180^\circ - (38^\circ + 52^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \] Следовательно, \( \triangle ABC \) — прямоугольный. Утверждение (а) верно. 2) Утверждение (б) неверно, так как углы при основании не равны. 3) \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) являются внешними углами треугольника, так как они смежные с внутренними углами. Утверждения (в) и (г) верны. 4) Мы вычислили, что \( \angle B = 90^\circ \). Угол \( \angle 1 \) вертикален углу \( \angle B \), значит \( \angle 1 = 90^\circ \). Утверждение (д) верно. 5) \( \angle 2 = 180^\circ - 52^\circ = 128^\circ \). Так как \( \angle B = 90^\circ \), то \( \angle 2 \neq \angle B \). Утверждение (е) неверно. Ответ: а, в, г, д. № 2. Треугольники, изображенные на рисунке: Решение: На рисунке изображены треугольники \( \triangle ROP \) и \( \triangle SOP \). 1) Сторона \( OP \) — общая. 2) По рисунку видно (отмечено дугами), что \( \angle RPO = \angle SPO \) и \( \angle ROP = \angle SOP \). Следовательно, треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников). Ответ: б) равны по двум углам и стороне между ними. № 3. Прямоугольные треугольники, изображенные на рисунке, равны: Решение: На рисунке у двух прямоугольных треугольников отмечены: 1) Общая гипотенуза (сторона, лежащая против угла \( 90^\circ \)). 2) Равные острые углы (отмечены крестиками). Следовательно, треугольники равны по гипотенузе и острому углу. Ответ: в) по гипотенузе и острому углу. Часть II. № 4. Найдите все неизвестные углы треугольника. Решение: Дан треугольник \( \triangle MNK \). 1) Угол \( \angle M \) является смежным с внешним углом \( 130^\circ \). \[ \angle M = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ \] 2) На рисунке отмечено, что стороны \( MN \) и \( MK \) равны (показано штрихами). Значит, \( \triangle MNK \) — равнобедренный с основанием \( NK \). 3) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: \[ \angle N = \angle K \] 4) Сумма углов треугольника равна \( 180^\circ \): \[ \angle N + \angle K = 180^\circ - \angle M = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ \] \[ \angle N = \angle K = 130^\circ : 2 = 65^\circ \] Ответ: \( \angle M = 50^\circ \), \( \angle N = 65^\circ \), \( \angle K = 65^\circ \).