Решение интеграла ∫√(⁴√e^(3x) + 8) * e^(3x) dx

Ниже представлено решение задач для записи в тетрадь. Задание 1. Вычислить интеграл: \[ \int \sqrt[4]{e^{3x} + 8} \cdot e^{3x} dx \] Решение: Для решения воспользуемся методом замены переменной. Пусть \( u = e^{3x} + 8 \). Найдем дифференциал \( du \): \[ du = (e^{3x} + 8)' dx = 3e^{3x} dx \] Отсюда выразим \( e^{3x} dx \): \[ e^{3x} dx = \frac{du}{3} \] Подставим замену в интеграл: \[ \int \sqrt[4]{u} \cdot \frac{du}{3} = \frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{4}} du \] Используем формулу интегрирования степенной функции \( \int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C \): \[ \frac{1}{3} \cdot \frac{u^{\frac{1}{4} + 1}}{\frac{1}{4} + 1} + C = \frac{1}{3} \cdot \frac{u^{\frac{5}{4}}}{\frac{5}{4}} + C = \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{5} u^{\frac{5}{4}} + C = \frac{4}{15} u^{\frac{5}{4}} + C \] Вернемся к исходной переменной \( x \): \[ \frac{4}{15} (e^{3x} + 8)^{\frac{5}{4}} + C = \frac{4}{15} \sqrt[4]{(e^{3x} + 8)^5} + C \] Ответ: \( \frac{4}{15} \sqrt[4]{(e^{3x} + 8)^5} + C \) Задание 2. Вычислить интеграл: \[ \int \frac{\cos x}{\sqrt[5]{\sin x}} dx \] Решение: Применим метод замены переменной. Пусть \( t = \sin x \). Тогда \( dt = (\sin x)' dx = \cos x dx \). Подставим \( t \) и \( dt \) в интеграл: \[ \int \frac{dt}{\sqrt[5]{t}} = \int t^{-\frac{1}{5}} dt \] Интегрируем как степенную функцию: \[ \frac{t^{-\frac{1}{5} + 1}}{-\frac{1}{5} + 1} + C = \frac{t^{\frac{4}{5}}}{\frac{4}{5}} + C = \frac{5}{4} t^{\frac{4}{5}} + C \] Сделаем обратную замену \( t = \sin x \): \[ \frac{5}{4} (\sin x)^{\frac{4}{5}} + C = \frac{5}{4} \sqrt[5]{\sin^4 x} + C \] Ответ: \( \frac{5}{4} \sqrt[5]{\sin^4 x} + C \)