Решение задачи: Площадь поверхности прямой треугольной призмы

Ниже представлено решение задач из карточки (Вариант 2), оформленное для записи в тетрадь. Задача 1. Дано: Прямая треугольная призма. В основании прямоугольный треугольник: \(a = 7\), \(b = 24\). Высота призмы: \(h = 15\). Найти: \(S_{полн}\). Решение: 1. Найдем гипотенузу \(c\) основания по теореме Пифагора: \[c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25\] 2. Найдем площадь основания (прямоугольного треугольника): \[S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 24 = 7 \cdot 12 = 84\] 3. Найдем периметр основания: \[P = a + b + c = 7 + 24 + 25 = 56\] 4. Найдем площадь боковой поверхности: \[S_{бок} = P \cdot h = 56 \cdot 15 = 840\] 5. Найдем полную площадь поверхности: \[S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 84 + 840 = 168 + 840 = 1008\] Ответ: 1008. Задача 2. Дано: Прямая призма, в основании ромб. Диагонали ромба: \(d_1 = 40\), \(d_2 = 42\). Полная площадь поверхности: \(S_{полн} = 7132\). Найти: боковое ребро (высоту) \(h\). Решение: 1. Найдем площадь основания (ромба): \[S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 42 = 20 \cdot 42 = 840\] 2. Найдем сторону ромба \(a\). Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам: \[a = \sqrt{(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2} = \sqrt{20^2 + 21^2} = \sqrt{400 + 441} = \sqrt{841} = 29\] 3. Найдем периметр основания: \[P = 4 \cdot a = 4 \cdot 29 = 116\] 4. Выразим площадь боковой поверхности из формулы полной поверхности: \[S_{бок} = S_{полн} - 2 \cdot S_{осн} = 7132 - 2 \cdot 840 = 7132 - 1680 = 5452\] 5. Найдем высоту (боковое ребро): \[h = \frac{S_{бок}}{P} = \frac{5452}{116} = 47\] Ответ: 47. Задача 3. Дано: Прямая треугольная призма. В основании прямоугольный треугольник: \(a = 6\), \(b = 8\). Полная площадь поверхности: \(S_{полн} = 144\). Найти: высоту \(h\). Решение: 1. Найдем гипотенузу \(c\): \[c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\] 2. Найдем площадь основания: \[S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24\] 3. Найдем периметр основания: \[P = 6 + 8 + 10 = 24\] 4. Найдем площадь боковой поверхности: \[S_{бок} = S_{полн} - 2 \cdot S_{осн} = 144 - 2 \cdot 24 = 144 - 48 = 96\] 5. Найдем высоту призмы: \[h = \frac{S_{бок}}{P} = \frac{96}{24} = 4\] Ответ: 4.