Решение неравенства √5x+6 > 6-x (Задание 6)

Задание 6. Решите неравенство \(\sqrt{5x+6} > 6-x\). В ответе запишите количество целых решений, принадлежащих отрезку \([-25; 20]\). Решение: Данное иррациональное неравенство вида \(\sqrt{f(x)} > g(x)\) равносильно совокупности двух систем: 1) \(\begin{cases} g(x) < 0 \\ f(x) \ge 0 \end{cases}\) или 2) \(\begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) > g^2(x) \end{cases}\) Рассмотрим первую систему: \[ \begin{cases} 6-x < 0 \\ 5x+6 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 6 \\ x \ge -1,2 \end{cases} \Rightarrow x \in (6; +\infty) \] Рассмотрим вторую систему: \[ \begin{cases} 6-x \ge 0 \\ 5x+6 > (6-x)^2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \le 6 \\ 5x+6 > 36 - 12x + x^2 \end{cases} \] \[ x^2 - 17x + 30 < 0 \] Найдем корни уравнения \(x^2 - 17x + 30 = 0\): \(D = (-17)^2 - 4 \cdot 30 = 289 - 120 = 169 = 13^2\) \(x_1 = \frac{17+13}{2} = 15\); \(x_2 = \frac{17-13}{2} = 2\) Решение неравенства: \(2 < x < 15\). С учетом условия \(x \le 6\), получаем: \(x \in (2; 6]\). Объединяем решения двух систем: \(x \in (2; 6] \cup (6; +\infty) \Rightarrow x \in (2; +\infty)\). Найдем целые решения на отрезке \([-25; 20]\): Это целые числа от 3 до 20 включительно. Количество чисел: \(20 - 3 + 1 = 18\). Ответ: 18. Задание 7. Решите неравенство \(\log_{\frac{1}{3}}^2 x - \log_3 x < \frac{\log_5 9}{\log_5 3}\). В ответе запишите наибольшее целое решение. Решение: 1. Область допустимых значений (ОДЗ): \(x > 0\). 2. Упростим правую часть по формуле перехода к новому основанию: \[ \frac{\log_5 9}{\log_5 3} = \log_3 9 = 2 \] 3. Преобразуем первый логарифм: \[ \log_{\frac{1}{3}} x = \log_{3^{-1}} x = -\log_3 x \] Так как логарифм в квадрате: \((-\log_3 x)^2 = \log_3^2 x\). 4. Неравенство принимает вид: \[ \log_3^2 x - \log_3 x - 2 < 0 \] Пусть \(\log_3 x = t\), тогда \(t^2 - t - 2 < 0\). Корни уравнения \(t^2 - t - 2 = 0\): \(t_1 = 2, t_2 = -1\). Решение по \(t\): \(-1 < t < 2\). 5. Возвращаемся к \(x\): \[ -1 < \log_3 x < 2 \] \[ 3^{-1} < x < 3^2 \] \[ \frac{1}{3} < x < 9 \] Наибольшее целое решение в интервале \((1/3; 9)\) — это число 8. Ответ: 8. Задание 8. Решите неравенство \(\frac{27^x - 9^{x+1} + 3^{x+3} - 27}{50x^2 + 70x + 24,5} \le 0\). Решение: 1. Разложим знаменатель: \[ 50x^2 + 70x + 24,5 = 0,5(100x^2 + 140x + 49) = 0,5(10x + 7)^2 \] Знаменатель всегда положителен при \(x \neq -0,7\). Точка \(x = -0,7\) — выколотая. 2. Разложим числитель методом группировки: \[ 3^{3x} - 9 \cdot 3^{2x} + 27 \cdot 3^x - 27 = (3^x)^3 - 3 \cdot (3^x)^2 \cdot 3 + 3 \cdot 3^x \cdot 3^2 - 3^3 \] Это формула куба разности \((a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\). Числитель равен \((3^x - 3)^3\). 3. Неравенство принимает вид: \[ \frac{(3^x - 3)^3}{0,5(10x + 7)^2} \le 0 \] Так как знаменатель в квадрате всегда больше нуля (при \(x \neq -0,7\)), знак дроби зависит только от числителя: \[ (3^x - 3)^3 \le 0 \Rightarrow 3^x - 3 \le 0 \Rightarrow 3^x \le 3^1 \Rightarrow x \le 1 \] 4. Учитываем выколотую точку из знаменателя: \(x \neq -0,7\). Решение: \(x \in (-\infty; -0,7) \cup (-0,7; 1]\). Ответ: \((-\infty; -0,7) \cup (-0,7; 1]\).