Решение задачи Вариант 2: Правильная четырехугольная пирамида

Ниже представлено решение задач Варианта 2, оформленное для записи в тетрадь. Вариант 2 Задача 1 Дано: Правильная четырёхугольная пирамида. \(h_{бок} = 10\) см (апофема). \(\alpha = 45^{\circ}\) (угол наклона боковой грани к основанию). Найти: \(V\) (объём пирамиды). Решение: 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды \(H\), апофемой \(h_{бок}\) и отрезком, соединяющим центр основания с серединой стороны основания (этот отрезок равен половине стороны основания \(a/2\)). 2. Из этого треугольника по определениям тригонометрических функций: \[H = h_{бок} \cdot \sin(45^{\circ}) = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \text{ см}\] \[\frac{a}{2} = h_{бок} \cdot \cos(45^{\circ}) = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \text{ см}\] 3. Находим сторону основания \(a\): \[a = 2 \cdot 5\sqrt{2} = 10\sqrt{2} \text{ см}\] 4. Находим площадь основания (квадрата): \[S_{осн} = a^2 = (10\sqrt{2})^2 = 100 \cdot 2 = 200 \text{ см}^2\] 5. Вычисляем объём пирамиды: \[V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 200 \cdot 5\sqrt{2} = \frac{1000\sqrt{2}}{3} \text{ см}^3\] Ответ: \(\frac{1000\sqrt{2}}{3}\) см\(^3\). Задача 2 Дано: Прямая треугольная призма. В основании прямоугольный треугольник с катетами \(a = 8\) см, \(b = 6\) см. \(S_{бок} = 120\) см\(^2\). Найти: \(V\) (объём призмы). Решение: 1. Находим гипотенузу \(c\) основания по теореме Пифагора: \[c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \text{ см}\] 2. Находим периметр основания: \[P_{осн} = a + b + c = 8 + 6 + 10 = 24 \text{ см}\] 3. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна \(S_{бок} = P_{осн} \cdot H\), где \(H\) — высота призмы. Отсюда: \[H = \frac{S_{бок}}{P_{осн}} = \frac{120}{24} = 5 \text{ см}\] 4. Находим площадь основания (прямоугольного треугольника): \[S_{осн} = \frac{1}{2} a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24 \text{ см}^2\] 5. Вычисляем объём призмы: \[V = S_{осн} \cdot H = 24 \cdot 5 = 120 \text{ см}^3\] Ответ: 120 см\(^3\).