Решение уравнений с логарифмами и степенями

Задание 1. Решите уравнение \(\log_3(2x+9)=4\). Решение: По определению логарифма: \[ 2x + 9 = 3^4 \] \[ 2x + 9 = 81 \] \[ 2x = 81 - 9 \] \[ 2x = 72 \] \[ x = 36 \] Ответ: 36. Задание 2. Решите уравнение \(4^{3x+3} = \frac{1}{64}\). Решение: Представим правую часть как степень с основанием 4: \[ \frac{1}{64} = \frac{1}{4^3} = 4^{-3} \] Уравнение примет вид: \[ 4^{3x+3} = 4^{-3} \] Приравниваем показатели степеней: \[ 3x + 3 = -3 \] \[ 3x = -6 \] \[ x = -2 \] Ответ: -2. Задание 3. Решите уравнение \(\log_2(28-2x) + 6 = -\log_{0,5} 320\). Решение: 1. Преобразуем правую часть. Заметим, что \(0,5 = 2^{-1}\): \[ -\log_{0,5} 320 = -\log_{2^{-1}} 320 = -(-1) \cdot \log_2 320 = \log_2 320 \] 2. Уравнение примет вид: \[ \log_2(28-2x) + 6 = \log_2 320 \] 3. Представим число 6 как логарифм: \(6 = \log_2 2^6 = \log_2 64\): \[ \log_2(28-2x) + \log_2 64 = \log_2 320 \] 4. Используем свойство суммы логарифмов: \[ \log_2(64 \cdot (28-2x)) = \log_2 320 \] \[ 64(28-2x) = 320 \] Разделим обе части на 64: \[ 28 - 2x = 5 \] \[ -2x = 5 - 28 \] \[ -2x = -23 \] \[ x = 11,5 \] Ответ: 11,5. Задание 4. Решите уравнение \(2^{4x+1} + 2^{4x-1} = 10\). Решение: Вынесем за скобки множитель с наименьшим показателем: \[ 2^{4x-1} \cdot (2^2 + 1) = 10 \] \[ 2^{4x-1} \cdot (4 + 1) = 10 \] \[ 2^{4x-1} \cdot 5 = 10 \] Разделим на 5: \[ 2^{4x-1} = 2 \] \[ 2^{4x-1} = 2^1 \] \[ 4x - 1 = 1 \] \[ 4x = 2 \] \[ x = 0,5 \] Ответ: 0,5. Задание 5. Решите неравенство \(\sqrt{43-5x} \le 4\). Решение: Данное неравенство равносильно системе: \[ \begin{cases} 43 - 5x \ge 0 \text{ (под коренное выражение)} \\ 43 - 5x \le 4^2 \end{cases} \] \[ \begin{cases} -5x \ge -43 \\ 43 - 5x \le 16 \end{cases} \] \[ \begin{cases} x \le 8,6 \\ -5x \le -27 \end{cases} \] \[ \begin{cases} x \le 8,6 \\ x \ge 5,4 \end{cases} \] Получаем интервал: \(x \in [5,4; 8,6]\). Это соответствует варианту номер 3. Ответ: 3.