Решение задачи: объем правильной четырехугольной пирамиды

Вариант 1 Задача 1 Дано: Правильная четырёхугольная пирамида. Сторона основания \( a = 8 \) см. Угол между боковым ребром и плоскостью основания \( \alpha = 45^{\circ} \). Найти: \( V \) (объём пирамиды). Решение: 1. В основании правильной четырёхугольной пирамиды лежит квадрат. Найдём диагональ основания \( d \) по формуле: \[ d = a\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \text{ см.} \] 2. Высота пирамиды \( H \) падает в центр основания (точку пересечения диагоналей). Отрезок от центра до вершины основания равен половине диагонали: \[ R = \frac{d}{2} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \text{ см.} \] 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой \( H \), радиусом \( R \) и боковым ребром. Так как угол между ребром и основанием равен \( 45^{\circ} \), этот треугольник является равнобедренным. Следовательно: \[ H = R = 4\sqrt{2} \text{ см.} \] 4. Найдём площадь основания пирамиды: \[ S_{осн} = a^2 = 8^2 = 64 \text{ см}^2. \] 5. Вычислим объём пирамиды по формуле \( V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H \): \[ V = \frac{1}{3} \cdot 64 \cdot 4\sqrt{2} = \frac{256\sqrt{2}}{3} \text{ см}^3. \] Ответ: \( \frac{256\sqrt{2}}{3} \text{ см}^3 \). Задача 2 Дано: Прямая треугольная призма. Стороны основания относятся как \( 17 : 10 : 9 \). Боковое ребро (высота призмы) \( h = 16 \) см. Площадь боковой поверхности \( S_{бок} = 1152 \text{ см}^2 \). Найти: стороны основания. Решение: 1. Пусть коэффициент пропорциональности сторон основания равен \( x \). Тогда стороны основания равны \( 17x \), \( 10x \) и \( 9x \). 2. Периметр основания \( P \) равен сумме его сторон: \[ P = 17x + 10x + 9x = 36x. \] 3. Площадь боковой поверхности прямой призмы вычисляется по формуле \( S_{бок} = P \cdot h \). Подставим известные значения: \[ 1152 = 36x \cdot 16. \] 4. Решим полученное уравнение относительно \( x \): \[ 1152 = 576x, \] \[ x = \frac{1152}{576} = 2. \] 5. Найдём длины сторон основания: Первая сторона: \( 17 \cdot 2 = 34 \text{ см.} \) Вторая сторона: \( 10 \cdot 2 = 20 \text{ см.} \) Третья сторона: \( 9 \cdot 2 = 18 \text{ см.} \) Ответ: 34 см, 20 см, 18 см.