Решение задачи 349(а) по геометрии

Решение задачи 349 (а) Дано: В треугольнике \(ABC\): \(\angle B = 30^\circ\) \(\angle C = 60^\circ\) \(AB = 6\sqrt{3}\) Найти: \(AC\) Решение: 1. Найдем третий угол треугольника \(\angle A\): \[\angle A = 180^\circ - (\angle B + \angle C) = 180^\circ - (30^\circ + 60^\circ) = 90^\circ\] Следовательно, треугольник \(ABC\) — прямоугольный с прямым углом \(A\). 2. Воспользуемся теоремой синусов: \[\frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C}\] 3. Выразим \(AC\): \[AC = \frac{AB \cdot \sin B}{\sin C}\] 4. Подставим известные значения: \[AC = \frac{6\sqrt{3} \cdot \sin 30^\circ}{\sin 60^\circ}\] Так как \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\), а \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\), получаем: \[AC = \frac{6\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{3\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{3\sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{3}} = 6\] Ответ: \(AC = 6\). Решение задачи 350 (а) Дано: В треугольнике \(ABC\): \(AC = 6\) \(CB = 7\) \(AB = 8\) Найти: \(\cos C\) Решение: 1. Воспользуемся теоремой косинусов для стороны \(AB\), которая лежит против угла \(C\): \[AB^2 = AC^2 + CB^2 - 2 \cdot AC \cdot CB \cdot \cos C\] 2. Выразим \(\cos C\) из этой формулы: \[\cos C = \frac{AC^2 + CB^2 - AB^2}{2 \cdot AC \cdot CB}\] 3. Подставим значения сторон: \[\cos C = \frac{6^2 + 7^2 - 8^2}{2 \cdot 6 \cdot 7}\] \[\cos C = \frac{36 + 49 - 64}{84}\] \[\cos C = \frac{21}{84}\] 4. Сократим дробь: \[\cos C = \frac{1}{4} = 0,25\] Ответ: \(\cos C = 0,25\).