Решение задачи: найти углы треугольника DEF

Задача 1. Дано: Треугольник \(DEF\). \(ED = 4,5\) дм, \(EF = 9,9\) дм, \(DF = 7\) дм. Найти: Углы \(\angle D, \angle E, \angle F\). Решение: Для нахождения углов треугольника по трем известным сторонам воспользуемся теоремой косинусов: \[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos \alpha\] 1) Найдем \(\cos E\) (угол между сторонами \(ED\) и \(EF\)): \[DF^2 = ED^2 + EF^2 - 2 \cdot ED \cdot EF \cdot \cos E\] \[7^2 = 4,5^2 + 9,9^2 - 2 \cdot 4,5 \cdot 9,9 \cdot \cos E\] \[49 = 20,25 + 98,01 - 89,1 \cdot \cos E\] \[49 = 118,26 - 89,1 \cdot \cos E\] \[89,1 \cdot \cos E = 118,26 - 49\] \[89,1 \cdot \cos E = 69,26\] \[\cos E = \frac{69,26}{89,1} \approx 0,7773\] \[\angle E \approx 39^\circ\] 2) Найдем \(\cos D\) (угол между сторонами \(DE\) и \(DF\)): \[EF^2 = ED^2 + DF^2 - 2 \cdot ED \cdot DF \cdot \cos D\] \[9,9^2 = 4,5^2 + 7^2 - 2 \cdot 4,5 \cdot 7 \cdot \cos D\] \[98,01 = 20,25 + 49 - 63 \cdot \cos D\] \[98,01 = 69,25 - 63 \cdot \cos D\] \[63 \cdot \cos D = 69,25 - 98,01\] \[63 \cdot \cos D = -28,76\] \[\cos D = -\frac{28,76}{63} \approx -0,4565\] \[\angle D \approx 117^\circ\] 3) Найдем \(\angle F\), используя сумму углов треугольника: \[\angle F = 180^\circ - (\angle E + \angle D)\] \[\angle F = 180^\circ - (39^\circ + 117^\circ) = 180^\circ - 156^\circ = 24^\circ\] Ответ: \(\angle D \approx 117^\circ, \angle E \approx 39^\circ, \angle F \approx 24^\circ\). Задача 2. Дано: \(\vec{p} = 6\vec{a} + x\vec{b}\) \(\vec{q} = 2\vec{a} - 3\vec{b}\) \(|\vec{a}| = 4, |\vec{b}| = 2, \angle(\vec{a}, \vec{b}) = 120^\circ\) \(\vec{p} \perp \vec{q}\) Найти: \(x\). Решение: Условие перпендикулярности векторов — их скалярное произведение равно нулю: \[\vec{p} \cdot \vec{q} = 0\] \[(6\vec{a} + x\vec{b}) \cdot (2\vec{a} - 3\vec{b}) = 0\] Раскроем скобки: \[12\vec{a}^2 - 18\vec{a}\vec{b} + 2x\vec{a}\vec{b} - 3x\vec{b}^2 = 0\] Вычислим значения входящих величин: 1) \(\vec{a}^2 = |\vec{a}|^2 = 4^2 = 16\) 2) \(\vec{b}^2 = |\vec{b}|^2 = 2^2 = 4\) 3) \(\vec{a}\vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos 120^\circ = 4 \cdot 2 \cdot (-0,5) = -4\) Подставим эти значения в уравнение: \[12 \cdot 16 - 18 \cdot (-4) + 2x \cdot (-4) - 3x \cdot 4 = 0\] \[192 + 72 - 8x - 12x = 0\] \[264 - 20x = 0\] \[20x = 264\] \[x = \frac{264}{20}\] \[x = 13,2\] Ответ: \(x = 13,2\).