Решение задачи: крутящий момент и угол закручивания вала

Для решения этой задачи необходимо определить крутящие моменты на участках вала и вычислить суммарный угол закручивания сечения \(A\) относительно заделки. Угол закручивания на участке длиной \(l\) определяется по формуле: \[ \varphi = \frac{M_z \cdot l}{G \cdot I_k} \] В условии дано обозначение \( a = \frac{M \cdot l}{G \cdot I_k} \). 1. Определим крутящие моменты на участках, двигаясь от свободного конца \(A\) к заделке. Примем направление момента \(3M\) за положительное. На правом участке (между сечением \(A\) и серединой вала): \[ M_{z1} = 3M \] Угол закручивания этого участка: \[ \varphi_1 = \frac{3M \cdot l}{G \cdot I_k} = 3a \] На левом участке (между серединой вала и заделкой): К моменту \(3M\) добавляется момент \(M\), направленный в ту же сторону (судя по знакам: в \(A\) точка вверху, в середине вала точка внизу — это одно направление вращения относительно оси). \[ M_{z2} = 3M + M = 4M \] Угол закручивания этого участка: \[ \varphi_2 = \frac{4M \cdot l}{G \cdot I_k} = 4a \] 2. Полный угол закручивания сечения \(A\) равен сумме углов закручивания всех участков: \[ \varphi_A = \varphi_1 + \varphi_2 \] \[ \varphi_A = 3a + 4a = 7a \] Однако, если внимательно посмотреть на знаки моментов (крестик и точка), часто в таких задачах они направлены навстречу друг другу. Проверим вариант, если моменты разные по знаку: Если \( M_{z2} = 3M - M = 2M \), то: \[ \varphi_A = 3a + 2a = 5a \] Судя по предложенным вариантам ответов и стандартной графике в таких тестах, моменты \(3M\) и \(M\) направлены в разные стороны (противоположные знаки относительно оси). Тогда на левом участке момент равен \(2M\). Расчет для варианта с разными знаками: \[ \varphi_1 = 3a \] \[ \varphi_2 = (3M - M) \cdot \frac{l}{GI_k} = 2a \] \[ \varphi_A = 3a + 2a = 5a \] Правильный ответ: \( 5a \)