Решение задач 15 и 16 из Варианта 5

Ниже представлены решения задач из Варианта 5, оформленные для записи в тетрадь. Задача 15. Дано: \(AB = 2\), \(BC = 3\), \(AC = 4\). Найти: \(\cos \angle ABC\). Решение: Для решения воспользуемся теоремой косинусов: \[AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle ABC\] Подставим известные значения: \[4^2 = 2^2 + 3^2 - 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cos \angle ABC\] \[16 = 4 + 9 - 12 \cdot \cos \angle ABC\] \[16 = 13 - 12 \cdot \cos \angle ABC\] \[12 \cdot \cos \angle ABC = 13 - 16\] \[12 \cdot \cos \angle ABC = -3\] \[\cos \angle ABC = -\frac{3}{12} = -0,25\] Ответ: -0,25. Задача 16. Дано: Центр описанной окружности лежит на стороне \(AB\), \(\angle BAC = 33^\circ\). Найти: \(\angle ABC\). Решение: Если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника, то эта сторона является диаметром, а сам треугольник — прямоугольный. Угол, опирающийся на диаметр, равен \(90^\circ\), следовательно, \(\angle ACB = 90^\circ\). Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна \(90^\circ\): \[\angle ABC = 90^\circ - \angle BAC = 90^\circ - 33^\circ = 57^\circ\] Ответ: 57. Задача 17. Дано: Параллелограмм \(ABCD\), \(AC = 24\), \(BD = 28\), \(AB = 6\). Найти: \(DO\). Решение: По свойству параллелограмма, его диагонали точкой пересечения \(O\) делятся пополам. Следовательно: \[DO = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} \cdot 28 = 14\] Лишние данные в условии (\(AC\) и \(AB\)) приведены для отвлечения внимания. Ответ: 14. Задача 18. Дано: Трапеция на клетчатой бумаге \(1 \times 1\). Найти: Площадь \(S\). Решение: Формула площади трапеции: \(S = \frac{a + b}{2} \cdot h\), где \(a\) и \(b\) — основания, \(h\) — высота. По рисунку считаем клетки: Верхнее основание \(a = 3\). Нижнее основание \(b = 7\). Высота \(h = 3\). \[S = \frac{3 + 7}{2} \cdot 3 = \frac{10}{2} \cdot 3 = 5 \cdot 3 = 15\] Ответ: 15. Задача 19. Какие из следующих утверждений верны? 1) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой. (Верно, это аксиома параллельных прямых). 2) В тупоугольном треугольнике все углы тупые. (Неверно, в треугольнике может быть только один тупой угол, иначе сумма углов превысит \(180^\circ\)). 3) Любой квадрат является прямоугольником. (Верно, так как у квадрата все углы прямые, что соответствует определению прямоугольника). Ответ: 13.