Решение 1 варианта неравенств для школы

Ниже представлено решение заданий из 1 варианта в виде, удобном для переписывания в школьную тетрадь. 1 вариант Задание 1. Решите неравенство: \( 3 - 2x \geq 8x - 1 \) Решение: Перенесем слагаемые с \( x \) в левую часть, а числа — в правую: \[ -2x - 8x \geq -1 - 3 \] \[ -10x \geq -4 \] Разделим обе части на \( -10 \), при этом знак неравенства меняется на противоположный: \[ x \leq \frac{-4}{-10} \] \[ x \leq 0,4 \] Ответ: \( x \in (-\infty; 0,4] \) Задание 2. Решите неравенство (с помощью параболы): \( 2x^2 - 7x - 9 < 0 \) Решение: 1) Найдем корни уравнения \( 2x^2 - 7x - 9 = 0 \). Используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 49 + 72 = 121 \] \[ \sqrt{D} = 11 \] \[ x_1 = \frac{7 + 11}{4} = \frac{18}{4} = 4,5 \] \[ x_2 = \frac{7 - 11}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \] 2) Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх (так как \( a = 2 > 0 \)). Парабола пересекает ось \( Ox \) в точках \( -1 \) и \( 4,5 \). Неравенство имеет знак \( < 0 \), значит нам нужен интервал между корнями. Ответ: \( x \in (-1; 4,5) \) Задание 3. Решите неравенство методом интервалов: \( (x + 1)(x - 7) \geq 0 \) Решение: 1) Найдем нули функции: \( x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \); \( x - 7 = 0 \Rightarrow x = 7 \). 2) Отметим точки на числовой прямой (точки закрашенные, так как неравенство нестрогое). 3) Определим знаки на интервалах: На \( (7; +\infty) \) знак "+", на \( (-1; 7) \) знак "-", на \( (-\infty; -1) \) знак "+". Нам нужны интервалы со знаком "+". Ответ: \( x \in (-\infty; -1] \cup [7; +\infty) \) Задание 4. Выберите неравенство по рисунку. Решение: На первом рисунке заштрихован интервал между корнями \( 0 \) и \( 4 \). Это соответствует неравенству \( x^2 - 4x \leq 0 \). На втором рисунке заштрихованы края от корней \( -3 \) и \( 3 \). Это соответствует неравенству \( x^2 - 9 > 0 \). Задание 5. Решите неравенства: а) \( (x - 6)^2 < \sqrt{10}(x - 6) \) Перенесем всё в одну сторону: \[ (x - 6)^2 - \sqrt{10}(x - 6) < 0 \] Вынесем общий множитель: \[ (x - 6)(x - 6 - \sqrt{10}) < 0 \] Корни: \( x_1 = 6 \), \( x_2 = 6 + \sqrt{10} \). Методом интервалов получаем интервал между корнями. Ответ: \( x \in (6; 6 + \sqrt{10}) \) б) \( -\frac{18}{x^2 - 2x - 15} \leq 0 \) Умножим на \( -1 \), знак меняется: \[ \frac{18}{x^2 - 2x - 15} \geq 0 \] Так как \( 18 > 0 \), то должно выполняться \( x^2 - 2x - 15 > 0 \) (строго больше, так как знаменатель не равен 0). Корни знаменателя по теореме Виета: \( x_1 = 5 \), \( x_2 = -3 \). Для знака \( > 0 \) подходят внешние интервалы. Ответ: \( x \in (-\infty; -3) \cup (5; +\infty) \) в) \( \frac{-15}{(x + 1)^2 - 3} \geq 0 \) Умножим на \( -1 \): \[ \frac{15}{(x + 1)^2 - 3} \leq 0 \] Значит, \( (x + 1)^2 - 3 < 0 \). \[ (x + 1)^2 < 3 \] \[ -\sqrt{3} < x + 1 < \sqrt{3} \] \[ -1 - \sqrt{3} < x < -1 + \sqrt{3} \] Ответ: \( x \in (-1 - \sqrt{3}; -1 + \sqrt{3}) \)