Решение задачи 22: График функции y = x^2 + 4x - 2|x + 2| + 1

Задание 22. Решение: Для построения графика функции \( y = x^2 + 4x - 2|x + 2| + 1 \) раскроем модуль по определению. Модуль меняет знак в точке \( x = -2 \). 1. Если \( x + 2 \ge 0 \), то есть \( x \ge -2 \): \[ y = x^2 + 4x - 2(x + 2) + 1 \] \[ y = x^2 + 4x - 2x - 4 + 1 \] \[ y = x^2 + 2x - 3 \] Найдем вершину этой параболы: \[ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2} = -1 \] \[ y_0 = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4 \] Вершина: \( (-1; -4) \). Дополнительные точки для этого участка: При \( x = -2 \), \( y = (-2)^2 + 2(-2) - 3 = 4 - 4 - 3 = -3 \). При \( x = 0 \), \( y = -3 \). При \( x = 1 \), \( y = 0 \). 2. Если \( x + 2 < 0 \), то есть \( x < -2 \): \[ y = x^2 + 4x - 2(-(x + 2)) + 1 \] \[ y = x^2 + 4x + 2(x + 2) + 1 \] \[ y = x^2 + 4x + 2x + 4 + 1 \] \[ y = x^2 + 6x + 5 \] Найдем вершину этой параболы: \[ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2} = -3 \] \[ y_0 = (-3)^2 + 6(-3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4 \] Вершина: \( (-3; -4) \). Дополнительные точки для этого участка: При \( x = -2 \), \( y = (-2)^2 + 6(-2) + 5 = 4 - 12 + 5 = -3 \). При \( x = -4 \), \( y = (-4)^2 + 6(-4) + 5 = 16 - 24 + 5 = -3 \). При \( x = -5 \), \( y = 0 \). Построение: График состоит из двух частей парабол, которые соединяются в точке \( (-2; -3) \). Обе ветви направлены вверх. У графика два минимума в точках \( (-3; -4) \) и \( (-1; -4) \). Определение количества общих точек с прямой \( y = m \): Прямая \( y = m \) — это горизонтальная линия. - Если \( m < -4 \), общих точек нет. - Если \( m = -4 \), прямая проходит через обе вершины, имеем 2 точки. - Если \( -4 < m < -3 \), прямая пересекает четыре ветви парабол, имеем 4 точки. - Если \( m = -3 \), прямая проходит через точку стыка \( (-2; -3) \) и пересекает две внешние ветви, имеем ровно 3 точки. - Если \( m > -3 \), прямая пересекает только две внешние ветви, имеем 2 точки. Таким образом, ровно три общие точки график имеет при \( m = -3 \). Ответ: \( m = -3 \).