Решение задачи: Адсорбция бензола на активированном угле

Задача: В задачах определить предельный адсорбционный объем активированного угля по изотерме адсорбции бензола при \(T = 293 \text{ К}\). Построить изотерму адсорбции при \(323 \text{ К}\). Таблица данных: | \(P/P_s\) | \(a, \text{Моль/кг}\) | \(P/P_s\) | \(a, \text{Моль/кг}\) | \(P/P_s\) | \(a, \text{Моль/кг}\) | |---|---|---|---|---|---| | \(1,06 \cdot 10^{-5}\) | \(0,30\) | \(5,84 \cdot 10^{-3}\) | \(2,06\) | \(7,83 \cdot 10^{-2}\) | \(3,21\) | | \(6,09 \cdot 10^{-5}\) | \(0,60\) | \(9,87 \cdot 10^{-3}\) | \(2,32\) | \(0,198\) | \(3,48\) | | \(4,53 \cdot 10^{-4}\) | \(1,08\) | \(1,93 \cdot 10^{-2}\) | \(2,64\) | | | Решение: Для решения данной задачи будем использовать уравнение Дубинина-Радушкевича, которое описывает адсорбцию паров на микропористых адсорбентах: \[ \ln a = \ln a_0 - B \left( \frac{T}{\beta} \right)^2 \left( \ln \frac{P_s}{P} \right)^2 \] где: \(a\) - величина адсорбции при температуре \(T\) и относительном давлении \(P/P_s\), Моль/кг \(a_0\) - предельная величина адсорбции (предельный адсорбционный объем), Моль/кг \(B\) - структурный параметр адсорбента, \(\text{К}^{-2}\) \(T\) - абсолютная температура, К \(\beta\) - коэффициент аффинности (для бензола \(\beta = 1\)) \(P_s\) - давление насыщенного пара при температуре \(T\), Па \(P\) - равновесное давление, Па Для удобства перепишем уравнение в линейную форму: \[ \ln a = \ln a_0 - D \left( \ln \frac{P_s}{P} \right)^2 \] где \(D = B \left( \frac{T}{\beta} \right)^2\). Построим график зависимости \(\ln a\) от \(\left( \ln \frac{P_s}{P} \right)^2\) для температуры \(T = 293 \text{ К}\). Сначала рассчитаем значения \(\ln a\) и \(\left( \ln \frac{P_s}{P} \right)^2\) для каждого экспериментального значения. | \(P/P_s\) | \(a, \text{Моль/кг}\) | \(\ln a\) | \(\ln(P_s/P)\) | \(\left( \ln(P_s/P) \right)^2\) | |---|---|---|---|---| | \(1,06 \cdot 10^{-5}\) | \(0,30\) | \(\ln(0,30) = -1,20\) | \(\ln(1/(1,06 \cdot 10^{-5})) = \ln(94339,6) = 11,45\) | \(11,45^2 = 131,10\) | | \(6,09 \cdot 10^{-5}\) | \(0,60\) | \(\ln(0,60) = -0,51\) | \(\ln(1/(6,09 \cdot 10^{-5})) = \ln(16420,36) = 9,71\) | \(9,71^2 = 94,28\) | | \(4,53 \cdot 10^{-4}\) | \(1,08\) | \(\ln(1,08) = 0,08\) | \(\ln(1/(4,53 \cdot 10^{-4})) = \ln(2207,5) = 7,70\) | \(7,70^2 = 59,29\) | | \(5,84 \cdot 10^{-3}\) | \(2,06\) | \(\ln(2,06) = 0,72\) | \(\ln(1/(5,84 \cdot 10^{-3})) = \ln(171,23) = 5,14\) | \(5,14^2 = 26,42\) | | \(9,87 \cdot 10^{-3}\) | \(2,32\) | \(\ln(2,32) = 0,84\) | \(\ln(1/(9,87 \cdot 10^{-3})) = \ln(101,32) = 4,62\) | \(4,62^2 = 21,34\) | | \(1,93 \cdot 10^{-2}\) | \(2,64\) | \(\ln(2,64) = 0,97\) | \(\ln(1/(1,93 \cdot 10^{-2})) = \ln(51,81) = 3,95\) | \(3,95^2 = 15,60\) | | \(7,83 \cdot 10^{-2}\) | \(3,21\) | \(\ln(3,21) = 1,17\) | \(\ln(1/(7,83 \cdot 10^{-2})) = \ln(12,77) = 2,55\) | \(2,55^2 = 6,50\) | | \(0,198\) | \(3,48\) | \(\ln(3,48) = 1,25\) | \(\ln(1/0,198) = \ln(5,05) = 1,62\) | \(1,62^2 = 2,62\) | Построим график зависимости \(\ln a\) от \(\left( \ln \frac{P_s}{P} \right)^2\). Это будет прямая линия. По оси Y откладываем \(\ln a\), по оси X откладываем \(\left( \ln \frac{P_s}{P} \right)^2\). Примерный график: (Представьте, что вы строите график на миллиметровой бумаге. По оси X от 0 до 140, по оси Y от -1.5 до 1.5) Точки для построения: (131.10, -1.20) (94.28, -0.51) (59.29, 0.08) (26.42, 0.72) (21.34, 0.84) (15.60, 0.97) (6.50, 1.17) (2.62, 1.25) Проведем прямую линию через эти точки. Экстраполируем прямую до пересечения с осью Y (где \(\left( \ln \frac{P_s}{P} \right)^2 = 0\)). Точка пересечения с осью Y даст нам значение \(\ln a_0\). Из графика (или методом наименьших квадратов) находим: \(\ln a_0 \approx 1,35\) Тогда предельная величина адсорбции \(a_0\): \(a_0 = e^{1,35} \approx 3,86 \text{ Моль/кг}\) Теперь определим параметр \(D\) (наклон прямой): \(D = \frac{\Delta (\ln a)}{\Delta \left( \ln \frac{P_s}{P} \right)^2}\) Возьмем две точки, например, (2.62, 1.25) и (131.10, -1.20): \(D = \frac{1,25 - (-1,20)}{2,62 - 131,10} = \frac{2,45}{-128,48} \approx -0,019\) Так как \(D = B \left( \frac{T}{\beta} \right)^2\), то \(B = \frac{D}{(T/\beta)^2}\). При \(T = 293 \text{ К}\) и \(\beta = 1\): \(B = \frac{-0,019}{(293/1)^2} = \frac{-0,019}{85849} \approx -2,21 \cdot 10^{-7}\) Однако, параметр \(B\) должен быть положительным. Это указывает на то, что в уравнении Дубинина-Радушкевича перед \(B\) стоит знак минус, и \(D\) должен быть отрицательным. \[ \ln a = \ln a_0 - B \left( \frac{T}{\beta} \right)^2 \left( \ln \frac{P_s}{P} \right)^2 \] Значит, наклон прямой \(D\) должен быть отрицательным, что мы и получили. Тогда \(B = \frac{|D|}{(T/\beta)^2} = \frac{0,019}{(293/1)^2} = \frac{0,019}{85849} \approx 2,21 \cdot 10^{-7} \text{ К}^{-2}\). Теперь построим изотерму адсорбции при \(T = 323 \text{ К}\). Для этого нам нужно рассчитать новые значения \(D'\) для \(T' = 323 \text{ К}\). \(D' = B \left( \frac{T'}{\beta} \right)^2 = 2,21 \cdot 10^{-7} \cdot \left( \frac{323}{1} \right)^2 = 2,21 \cdot 10^{-7} \cdot 104329 \approx 0,023\) Уравнение изотермы при \(323 \text{ К}\) будет: \[ \ln a = \ln a_0 - D' \left( \ln \frac{P_s}{P} \right)^2 \] \[ \ln a = 1,35 - 0,023 \left( \ln \frac{P_s}{P} \right)^2 \] Для построения изотермы нам нужны значения \(P/P_s\). Возьмем те же значения \(P/P_s\), что и в исходной таблице, и рассчитаем для них \(a\) при \(323 \text{ К}\). | \(P/P_s\) | \(\left( \ln(P_s/P) \right)^2\) | \(\ln a = 1,35 - 0,023 \cdot \left( \ln(P_s/P) \right)^2\) | \(a = e^{\ln a}\) | |---|---|---|---| | \(1,06 \cdot 10^{-5}\) | \(131,10\) | \(1,35 - 0,023 \cdot 131,10 = 1,35 - 3,015 = -1,665\) | \(e^{-1,665} = 0,19\) | | \(6,09 \cdot 10^{-5}\) | \(94,28\) | \(1,35 - 0,023 \cdot 94,28 = 1,35 - 2,168 = -0,818\) | \(e^{-0,818} = 0,44\) | | \(4,53 \cdot 10^{-4}\) | \(59,29\) | \(1,35 - 0,023 \cdot 59,29 = 1,35 - 1,364 = -0,014\) | \(e^{-0,014} = 0,99\) | | \(5,84 \cdot 10^{-3}\) | \(26,42\) | \(1,35 - 0,023 \cdot 26,42 = 1,35 - 0,608 = 0,742\) | \(e^{0,742} = 2,10\) | | \(9,87 \cdot 10^{-3}\) | \(21,34\) | \(1,35 - 0,023 \cdot 21,34 = 1,35 - 0,491 = 0,859\) | \(e^{0,859} = 2,36\) | | \(1,93 \cdot 10^{-2}\) | \(15,60\) | \(1,35 - 0,023 \cdot 15,60 = 1,35 - 0,359 = 0,991\) | \(e^{0,991} = 2,69\) | | \(7,83 \cdot 10^{-2}\) | \(6,50\) | \(1,35 - 0,023 \cdot 6,50 = 1,35 - 0,150 = 1,200\) | \(e^{1,200} = 3,32\) | | \(0,198\) | \(2,62\) | \(1,35 - 0,023 \cdot 2,62 = 1,35 - 0,060 = 1,290\) | \(e^{1,290} = 3,63\) | Теперь можно построить изотерму адсорбции при \(323 \text{ К}\), откладывая \(a\) по оси Y и \(P/P_s\) по оси X. Выводы: 1. Предельный адсорбционный объем активированного угля для бензола при \(T = 293 \text{ К}\) составляет примерно \(3,86 \text{ Моль/кг}\). 2. Изотерма адсорбции при \(323 \text{ К}\) показывает, что с увеличением температуры адсорбция уменьшается при том же относительном давлении, что является типичным для физической адсорбции. Для школьника: 1. Перепишите условие задачи. 2. Перепишите таблицу данных. 3. Запишите уравнение Дубинина-Радушкевича и его линейную форму. 4. Создайте новую таблицу для расчета \(\ln a\) и \(\left( \ln \frac{P_s}{P} \right)^2\). 5. Постройте график зависимости \(\ln a\) от \(\left( \ln \frac{P_s}{P} \right)^2\). Используйте миллиметровую бумагу для точности. 6. Определите \(\ln a_0\) по точке пересечения прямой с осью Y. Рассчитайте \(a_0\). 7. Определите наклон прямой \(D\). Рассчитайте параметр \(B\). 8. Рассчитайте новый наклон \(D'\) для температуры \(323 \text{ К}\). 9. Создайте новую таблицу для расчета \(a\) при \(323 \text{ К}\). 10. Постройте вторую изотерму адсорбции (зависимость \(a\) от \(P/P_s\)) на том же или отдельном графике. 11. Запишите выводы.