Обратная матрица методом алгебраических дополнений

Задание: Найти обратную матрицу с помощью алгебраических дополнений. Дана матрица: \[ A = \begin{pmatrix} k & kn-1 & 1-kn \\ -k & 1-kn & kn \\ 1 & n & -n \end{pmatrix} \] Решение: 1. Вычислим определитель матрицы \( \det(A) \). Для удобства сложим первую строку со второй: \[ \det(A) = \begin{vmatrix} k & kn-1 & 1-kn \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & n & -n \end{vmatrix} \] Разложим по второй строке: \[ \det(A) = -1 \cdot \begin{vmatrix} k & kn-1 \\ 1 & n \end{vmatrix} = -1 \cdot (k \cdot n - (kn - 1)) = -1 \cdot (kn - kn + 1) = -1 \] Так как \( \det(A) = -1 \neq 0 \), обратная матрица существует. 2. Найдем алгебраические дополнения \( A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij} \): \[ A_{11} = \begin{vmatrix} 1-kn & kn \\ n & -n \end{vmatrix} = -n(1-kn) - n(kn) = -n + kn^2 - kn^2 = -n \] \[ A_{12} = -\begin{vmatrix} -k & kn \\ 1 & -n \end{vmatrix} = -((-k)(-n) - kn) = -(kn - kn) = 0 \] \[ A_{13} = \begin{vmatrix} -k & 1-kn \\ 1 & n \end{vmatrix} = -kn - (1-kn) = -kn - 1 + kn = -1 \] \[ A_{21} = -\begin{vmatrix} kn-1 & 1-kn \\ n & -n \end{vmatrix} = -(-n(kn-1) - n(1-kn)) = -(-kn^2 + n - n + kn^2) = 0 \] \[ A_{22} = \begin{vmatrix} k & 1-kn \\ 1 & -n \end{vmatrix} = -kn - (1-kn) = -kn - 1 + kn = -1 \] \[ A_{23} = -\begin{vmatrix} k & kn-1 \\ 1 & n \end{vmatrix} = -(kn - (kn-1)) = -(kn - kn + 1) = -1 \] \[ A_{31} = \begin{vmatrix} kn-1 & 1-kn \\ 1-kn & kn \end{vmatrix} = kn(kn-1) - (1-kn)^2 = k^2n^2 - kn - (1 - 2kn + k^2n^2) = k^2n^2 - kn - 1 + 2kn - k^2n^2 = kn - 1 \] \[ A_{32} = -\begin{vmatrix} k & 1-kn \\ -k & kn \end{vmatrix} = -(k^2n - (-k(1-kn))) = -(k^2n + k - k^2n) = -k \] \[ A_{33} = \begin{vmatrix} k & kn-1 \\ -k & 1-kn \end{vmatrix} = k(1-kn) - (-k(kn-1)) = k - k^2n + k^2n - k = 0 \] 3. Составим матрицу из алгебраических дополнений и транспонируем ее: \[ A^* = \begin{pmatrix} -n & 0 & kn-1 \\ 0 & -1 & -k \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \] 4. Вычислим обратную матрицу по формуле \( A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} A^* \): \[ A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} -n & 0 & kn-1 \\ 0 & -1 & -k \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n & 0 & 1-kn \\ 0 & 1 & k \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \] Ответ: \[ A^{-1} = \begin{pmatrix} n & 0 & 1-kn \\ 0 & 1 & k \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \]