Решение неравенства методом интервалов

Решение неравенства методом интервалов. Дано неравенство: \[ \frac{(x + 2)(x + 3)}{(x - 2)^2} \leq 0 \] 1. Найдем нули числителя: \[ (x + 2)(x + 3) = 0 \] \[ x_1 = -2, \quad x_2 = -3 \] Так как неравенство нестрогое (\( \leq \)), эти точки будут закрашенными на координатной прямой. 2. Найдем нули знаменателя (точки разрыва): \[ (x - 2)^2 = 0 \] \[ x_3 = 2 \] Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому точка \( x = 2 \) всегда выколотая. Обратите внимание, что скобка стоит в квадрате, значит, при переходе через эту точку знак выражения не изменится. 3. Отметим точки на числовой прямой и определим знаки на интервалах: - Точки \( -3 \) и \( -2 \) — закрашенные. - Точка \( 2 \) — выколотая. Расставим знаки справа налево: - При \( x > 2 \): выражение положительно (+). - При переходе через \( x = 2 \): знак не меняется, так как корень четной кратности (+). - При переходе через \( x = -2 \): знак меняется на противоположный (-). - При переходе через \( x = -3 \): знак меняется на противоположный (+). Схема знаков: \( + \quad [-3] \quad - \quad [-2] \quad + \quad (2) \quad + \) 4. Выберем интервалы, где выражение \( \leq 0 \): Нам подходит промежуток, где стоит знак "минус", включая границы числителя. Ответ: \[ x \in [-3; -2] \]